Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1658 / 1925
↖ ↑ ↗
← S 82.787476°
E111.445313°		 ← 2 454 m → S 82.787476°
E111.621094°		 →
↑
2 450.29 m
↓
↑
2 450.29 m
↓
S 82.809512°
E111.445313°		 ← 2 446.54 m →
6 003 863 m²		 S 82.809512°
E111.621094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809814453125 y=0.940185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809814453125 × 211)
    floor (0.809814453125 × 2048)
    floor (1658.5)     		tx = 1658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.940185546875 × 211)
    floor (0.940185546875 × 2048)
    floor (1925.5)     		ty = 1925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1658 / 1925 ti = "11/1658/1925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1658/1925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1658 ÷ 211
    1658 ÷ 2048     		x = 0.8095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1925 ÷ 211
    1925 ÷ 2048     		y = 0.93994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8095703125 × 2 - 1) × π
    0.619140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.94508764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93994140625 × 2 - 1) × π
    -0.8798828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.76423337969092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94508764} λ = 1.94508764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.76423337969092))-π/2
    2×atan(0.0630243966152296)-π/2
    2×0.0629411490569858-π/2
    0.125882298113972-1.57079632675     		φ = -1.44491403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94508764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.445313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44491403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.787476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1658 KachelY 1925 1.94508764 -1.44491403 111.445313 -82.787476
    Oben rechts KachelX + 1 1659 KachelY 1925 1.94815560 -1.44491403 111.621094 -82.787476
    Unten links KachelX 1658 KachelY + 1 1926 1.94508764 -1.44529863 111.445313 -82.809512
    Unten rechts KachelX + 1 1659 KachelY + 1 1926 1.94815560 -1.44529863 111.621094 -82.809512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44491403--1.44529863) × R
    0.000384599999999846 × 6371000     		dl = 2450.28659999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44491403--1.44529863) × R
    0.000384599999999846 × 6371000     		dr = 2450.28659999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94508764-1.94815560) × cos(-1.44491403) × R
    0.00306796000000009 × 0.125550097566978 × 6371000     		do = 2453.99883727961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94508764-1.94815560) × cos(-1.44529863) × R
    0.00306796000000009 × 0.125168531522629 × 6371000     		du = 2446.54075761799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44491403)-sin(-1.44529863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125550097566978-0.125168531522629)×R²
    abs(1.94815560-1.94508764)×0.00038156604434933×R²
    0.00306796000000009×0.00038156604434933×6371000²
    0.00306796000000009×0.00038156604434933×40589641000000     		ar = 6003863.32507824m²