Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16576 / 16702
↖ ↑ ↗
← S  3.491490°
E  2.109375°		 ← 1 219.37 m → S  3.491490°
E  2.120362°		 →
↑
1 219.35 m
↓
↑
1 219.35 m
↓
S  3.502455°
E  2.109375°		 ← 1 219.36 m →
1 486 827 m²		 S  3.502455°
E  2.120362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505874633789062 y=0.509719848632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505874633789062 × 215)
    floor (0.505874633789062 × 32768)
    floor (16576.5)     		tx = 16576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509719848632812 × 215)
    floor (0.509719848632812 × 32768)
    floor (16702.5)     		ty = 16702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16576 / 16702 ti = "15/16576/16702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16576/16702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16576 ÷ 215
    16576 ÷ 32768     		x = 0.505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16702 ÷ 215
    16702 ÷ 32768     		y = 0.50970458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505859375 × 2 - 1) × π
    0.01171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03681554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50970458984375 × 2 - 1) × π
    -0.0194091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0609757363167114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03681554} λ = 0.03681554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0609757363167114))-π/2
    2×atan(0.940846067890076)-π/2
    2×0.754929170218266-π/2
    1.50985834043653-1.57079632675     		φ = -0.06093799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03681554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06093799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.491490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16576 KachelY 16702 0.03681554 -0.06093799 2.109375 -3.491490
    Oben rechts KachelX + 1 16577 KachelY 16702 0.03700729 -0.06093799 2.120362 -3.491490
    Unten links KachelX 16576 KachelY + 1 16703 0.03681554 -0.06112938 2.109375 -3.502455
    Unten rechts KachelX + 1 16577 KachelY + 1 16703 0.03700729 -0.06112938 2.120362 -3.502455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06093799--0.06112938) × R
    0.00019139 × 6371000     		dl = 1219.34569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06093799--0.06112938) × R
    0.00019139 × 6371000     		dr = 1219.34569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03681554-0.03700729) × cos(-0.06093799) × R
    0.000191749999999997 × 0.998143855184032 × 6371000     		do = 1219.37171063911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03681554-0.03700729) × cos(-0.06112938) × R
    0.000191749999999997 × 0.998132181198043 × 6371000     		du = 1219.35744923963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06093799)-sin(-0.06112938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998143855184032-0.998132181198043)×R²
    abs(0.03700729-0.03681554)×1.16739859882253e-05×R²
    0.000191749999999997×1.16739859882253e-05×6371000²
    0.000191749999999997×1.16739859882253e-05×40589641000000     		ar = 1486826.94962627m²