Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16570 / 16693
↖ ↑ ↗
← S  3.392791°
E  2.043457°		 ← 1 219.50 m → S  3.392791°
E  2.054443°		 →
↑
1 219.47 m
↓
↑
1 219.47 m
↓
S  3.403758°
E  2.043457°		 ← 1 219.48 m →
1 487 137 m²		 S  3.403758°
E  2.054443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505691528320312 y=0.509445190429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505691528320312 × 215)
    floor (0.505691528320312 × 32768)
    floor (16570.5)     		tx = 16570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509445190429688 × 215)
    floor (0.509445190429688 × 32768)
    floor (16693.5)     		ty = 16693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16570 / 16693 ti = "15/16570/16693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16570/16693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16570 ÷ 215
    16570 ÷ 32768     		x = 0.50567626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16693 ÷ 215
    16693 ÷ 32768     		y = 0.509429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50567626953125 × 2 - 1) × π
    0.0113525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03566505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.01885986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0592500079303894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03566505} λ = 0.03566505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0592500079303894))-π/2
    2×atan(0.942471114447779)-π/2
    2×0.755790477644545-π/2
    1.51158095528909-1.57079632675     		φ = -0.05921537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03566505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.043457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05921537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.392791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16570 KachelY 16693 0.03566505 -0.05921537 2.043457 -3.392791
    Oben rechts KachelX + 1 16571 KachelY 16693 0.03585680 -0.05921537 2.054443 -3.392791
    Unten links KachelX 16570 KachelY + 1 16694 0.03566505 -0.05940678 2.043457 -3.403758
    Unten rechts KachelX + 1 16571 KachelY + 1 16694 0.03585680 -0.05940678 2.054443 -3.403758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05921537--0.05940678) × R
    0.000191409999999996 × 6371000     		dl = 1219.47310999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05921537--0.05940678) × R
    0.000191409999999996 × 6371000     		dr = 1219.47310999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03566505-0.03585680) × cos(-0.05921537) × R
    0.000191750000000004 × 0.998247282220591 × 6371000     		do = 1219.49806116653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03566505-0.03585680) × cos(-0.05940678) × R
    0.000191750000000004 × 0.998235936142686 × 6371000     		du = 1219.48420035243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05921537)-sin(-0.05940678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998247282220591-0.998235936142686)×R²
    abs(0.03585680-0.03566505)×1.13460779049834e-05×R²
    0.000191750000000004×1.13460779049834e-05×6371000²
    0.000191750000000004×1.13460779049834e-05×40589641000000     		ar = 1487136.64638513m²