Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1657 / 1926
↖ ↑ ↗
← S 82.809512°
E111.269531°		 ← 2 446.54 m → S 82.809512°
E111.445313°		 →
↑
2 442.77 m
↓
↑
2 442.77 m
↓
S 82.831480°
E111.269531°		 ← 2 439.11 m →
5 967 252 m²		 S 82.831480°
E111.445313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809326171875 y=0.940673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809326171875 × 211)
    floor (0.809326171875 × 2048)
    floor (1657.5)     		tx = 1657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.940673828125 × 211)
    floor (0.940673828125 × 2048)
    floor (1926.5)     		ty = 1926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1657 / 1926 ti = "11/1657/1926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1657/1926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1657 ÷ 211
    1657 ÷ 2048     		x = 0.80908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1926 ÷ 211
    1926 ÷ 2048     		y = 0.9404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80908203125 × 2 - 1) × π
    0.6181640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.94201968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9404296875 × 2 - 1) × π
    -0.880859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.7673013412666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94201968} λ = 1.94201968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7673013412666))-π/2
    2×atan(0.0628313364900361)-π/2
    2×0.0627488504189086-π/2
    0.125497700837817-1.57079632675     		φ = -1.44529863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94201968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.269531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44529863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.809512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1657 KachelY 1926 1.94201968 -1.44529863 111.269531 -82.809512
    Oben rechts KachelX + 1 1658 KachelY 1926 1.94508764 -1.44529863 111.445313 -82.809512
    Unten links KachelX 1657 KachelY + 1 1927 1.94201968 -1.44568205 111.269531 -82.831480
    Unten rechts KachelX + 1 1658 KachelY + 1 1927 1.94508764 -1.44568205 111.445313 -82.831480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44529863--1.44568205) × R
    0.000383420000000134 × 6371000     		dl = 2442.76882000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44529863--1.44568205) × R
    0.000383420000000134 × 6371000     		dr = 2442.76882000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94201968-1.94508764) × cos(-1.44529863) × R
    0.00306795999999987 × 0.125168531522629 × 6371000     		do = 2446.54075761782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94201968-1.94508764) × cos(-1.44568205) × R
    0.00306795999999987 × 0.12478811774022 × 6371000     		du = 2439.10520003717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44529863)-sin(-1.44568205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125168531522629-0.12478811774022)×R²
    abs(1.94508764-1.94201968)×0.000380413782408495×R²
    0.00306795999999987×0.000380413782408495×6371000²
    0.00306795999999987×0.000380413782408495×40589641000000     		ar = 5967251.87856929m²