Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16569 / 16696
↖ ↑ ↗
← S  3.425692°
E  2.032471°		 ← 1 219.39 m → S  3.425692°
E  2.043457°		 →
↑
1 219.41 m
↓
↑
1 219.41 m
↓
S  3.436658°
E  2.032471°		 ← 1 219.38 m →
1 486 930 m²		 S  3.436658°
E  2.043457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505661010742188 y=0.509536743164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505661010742188 × 215)
    floor (0.505661010742188 × 32768)
    floor (16569.5)     		tx = 16569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509536743164062 × 215)
    floor (0.509536743164062 × 32768)
    floor (16696.5)     		ty = 16696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16569 / 16696 ti = "15/16569/16696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16569/16696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16569 ÷ 215
    16569 ÷ 32768     		x = 0.505645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16696 ÷ 215
    16696 ÷ 32768     		y = 0.509521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505645751953125 × 2 - 1) × π
    0.01129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03547331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509521484375 × 2 - 1) × π
    -0.01904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0598252507258301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03547331} λ = 0.03547331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0598252507258301))-π/2
    2×atan(0.941929120633246)-π/2
    2×0.755503365268922-π/2
    1.51100673053784-1.57079632675     		φ = -0.05978960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03547331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.032471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05978960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.425692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16569 KachelY 16696 0.03547331 -0.05978960 2.032471 -3.425692
    Oben rechts KachelX + 1 16570 KachelY 16696 0.03566505 -0.05978960 2.043457 -3.425692
    Unten links KachelX 16569 KachelY + 1 16697 0.03547331 -0.05998100 2.032471 -3.436658
    Unten rechts KachelX + 1 16570 KachelY + 1 16697 0.03566505 -0.05998100 2.043457 -3.436658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05978960--0.05998100) × R
    0.000191400000000001 × 6371000     		dl = 1219.40940000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05978960--0.05998100) × R
    0.000191400000000001 × 6371000     		dr = 1219.40940000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03547331-0.03566505) × cos(-0.05978960) × R
    0.000191739999999996 × 0.998213134267824 × 6371000     		do = 1219.39274852828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03547331-0.03566505) × cos(-0.05998100) × R
    0.000191739999999996 × 0.998201679071152 × 6371000     		du = 1219.37875514022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05978960)-sin(-0.05998100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998213134267824-0.998201679071152)×R²
    abs(0.03566505-0.03547331)×1.14551966718945e-05×R²
    0.000191739999999996×1.14551966718945e-05×6371000²
    0.000191739999999996×1.14551966718945e-05×40589641000000     		ar = 1486930.45255211m²