Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16569 / 11055
↖ ↑ ↗
← N 50.408517°
E  2.032471°		 ← 778.52 m → N 50.408517°
E  2.043457°		 →
↑
778.60 m
↓
↑
778.60 m
↓
N 50.401515°
E  2.032471°		 ← 778.64 m →
606 202 m²		 N 50.401515°
E  2.043457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505661010742188 y=0.337387084960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505661010742188 × 215)
    floor (0.505661010742188 × 32768)
    floor (16569.5)     		tx = 16569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337387084960938 × 215)
    floor (0.337387084960938 × 32768)
    floor (11055.5)     		ty = 11055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16569 / 11055 ti = "15/16569/11055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16569/11055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16569 ÷ 215
    16569 ÷ 32768     		x = 0.505645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11055 ÷ 215
    11055 ÷ 32768     		y = 0.337371826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505645751953125 × 2 - 1) × π
    0.01129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03547331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337371826171875 × 2 - 1) × π
    0.32525634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02182295230112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03547331} λ = 0.03547331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02182295230112))-π/2
    2×atan(2.77825477642012)-π/2
    2×1.22529546436812-π/2
    2.45059092873623-1.57079632675     		φ = 0.87979460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03547331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.032471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87979460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.408517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16569 KachelY 11055 0.03547331 0.87979460 2.032471 50.408517
    Oben rechts KachelX + 1 16570 KachelY 11055 0.03566505 0.87979460 2.043457 50.408517
    Unten links KachelX 16569 KachelY + 1 11056 0.03547331 0.87967239 2.032471 50.401515
    Unten rechts KachelX + 1 16570 KachelY + 1 11056 0.03566505 0.87967239 2.043457 50.401515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87979460-0.87967239) × R
    0.000122210000000011 × 6371000     		dl = 778.599910000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87979460-0.87967239) × R
    0.000122210000000011 × 6371000     		dr = 778.599910000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03547331-0.03566505) × cos(0.87979460) × R
    0.000191739999999996 × 0.637309440522757 × 6371000     		do = 778.521623953668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03547331-0.03566505) × cos(0.87967239) × R
    0.000191739999999996 × 0.637403611766001 × 6371000     		du = 778.636661240987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87979460)-sin(0.87967239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637309440522757-0.637403611766001)×R²
    abs(0.03566505-0.03547331)×9.41712432442898e-05×R²
    0.000191739999999996×9.41712432442898e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.41712432442898e-05×40589641000000     		ar = 606201.651109032m²