Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16568 / 11046
↖ ↑ ↗
← N 50.471491°
E  2.021484°		 ← 777.53 m → N 50.471491°
E  2.032471°		 →
↑
777.58 m
↓
↑
777.58 m
↓
N 50.464498°
E  2.021484°		 ← 777.64 m →
604 635 m²		 N 50.464498°
E  2.032471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505630493164062 y=0.337112426757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505630493164062 × 215)
    floor (0.505630493164062 × 32768)
    floor (16568.5)     		tx = 16568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337112426757812 × 215)
    floor (0.337112426757812 × 32768)
    floor (11046.5)     		ty = 11046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16568 / 11046 ti = "15/16568/11046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16568/11046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16568 ÷ 215
    16568 ÷ 32768     		x = 0.505615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11046 ÷ 215
    11046 ÷ 32768     		y = 0.33709716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505615234375 × 2 - 1) × π
    0.01123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03528156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33709716796875 × 2 - 1) × π
    0.3258056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02354868068744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03528156} λ = 0.03528156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02354868068744))-π/2
    2×atan(2.78305342894674)-π/2
    2×1.2258450102617-π/2
    2.4516900205234-1.57079632675     		φ = 0.88089369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03528156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.021484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88089369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.471491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16568 KachelY 11046 0.03528156 0.88089369 2.021484 50.471491
    Oben rechts KachelX + 1 16569 KachelY 11046 0.03547331 0.88089369 2.032471 50.471491
    Unten links KachelX 16568 KachelY + 1 11047 0.03528156 0.88077164 2.021484 50.464498
    Unten rechts KachelX + 1 16569 KachelY + 1 11047 0.03547331 0.88077164 2.032471 50.464498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88089369-0.88077164) × R
    0.000122049999999985 × 6371000     		dl = 777.580549999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88089369-0.88077164) × R
    0.000122049999999985 × 6371000     		dr = 777.580549999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03528156-0.03547331) × cos(0.88089369) × R
    0.000191750000000004 × 0.636462088221086 × 6371000     		do = 777.52706810786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03528156-0.03547331) × cos(0.88077164) × R
    0.000191750000000004 × 0.636556221620188 × 6371000     		du = 777.642065162938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88089369)-sin(0.88077164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636462088221086-0.636556221620188)×R²
    abs(0.03547331-0.03528156)×9.41333991018034e-05×R²
    0.000191750000000004×9.41333991018034e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.41333991018034e-05×40589641000000     		ar = 604634.635746414m²