Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16566 / 16715
↖ ↑ ↗
← S  3.634036°
E  1.999512°		 ← 1 219.18 m → S  3.634036°
E  2.010498°		 →
↑
1 219.15 m
↓
↑
1 219.15 m
↓
S  3.645000°
E  1.999512°		 ← 1 219.17 m →
1 486 363 m²		 S  3.645000°
E  2.010498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505569458007812 y=0.510116577148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505569458007812 × 215)
    floor (0.505569458007812 × 32768)
    floor (16566.5)     		tx = 16566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510116577148438 × 215)
    floor (0.510116577148438 × 32768)
    floor (16715.5)     		ty = 16715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16566 / 16715 ti = "15/16566/16715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16566/16715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16566 ÷ 215
    16566 ÷ 32768     		x = 0.50555419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16715 ÷ 215
    16715 ÷ 32768     		y = 0.510101318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50555419921875 × 2 - 1) × π
    0.0111083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.03489806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.510101318359375 × 2 - 1) × π
    -0.02020263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0634684550969543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03489806} λ = 0.03489806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0634684550969543))-π/2
    2×atan(0.938503723842702)-π/2
    2×0.75368521995754-π/2
    1.50737043991508-1.57079632675     		φ = -0.06342589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03489806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.999512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06342589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.634036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16566 KachelY 16715 0.03489806 -0.06342589 1.999512 -3.634036
    Oben rechts KachelX + 1 16567 KachelY 16715 0.03508981 -0.06342589 2.010498 -3.634036
    Unten links KachelX 16566 KachelY + 1 16716 0.03489806 -0.06361725 1.999512 -3.645000
    Unten rechts KachelX + 1 16567 KachelY + 1 16716 0.03508981 -0.06361725 2.010498 -3.645000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06342589--0.06361725) × R
    0.000191360000000002 × 6371000     		dl = 1219.15456000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06342589--0.06361725) × R
    0.000191360000000002 × 6371000     		dr = 1219.15456000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03489806-0.03508981) × cos(-0.06342589) × R
    0.000191749999999997 × 0.997989252451357 × 6371000     		do = 1219.18284187272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03489806-0.03508981) × cos(-0.06361725) × R
    0.000191749999999997 × 0.997977105136636 × 6371000     		du = 1219.16800223628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06342589)-sin(-0.06361725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997989252451357-0.997977105136636)×R²
    abs(0.03508981-0.03489806)×1.21473147208784e-05×R²
    0.000191749999999997×1.21473147208784e-05×6371000²
    0.000191749999999997×1.21473147208784e-05×40589641000000     		ar = 1486363.27977337m²