Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16565 / 11139
↖ ↑ ↗
← N 49.816721°
E  1.988526°		 ← 788.20 m → N 49.816721°
E  1.999512°		 →
↑
788.28 m
↓
↑
788.28 m
↓
N 49.809632°
E  1.988526°		 ← 788.32 m →
621 373 m²		 N 49.809632°
E  1.999512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505538940429688 y=0.339950561523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505538940429688 × 215)
    floor (0.505538940429688 × 32768)
    floor (16565.5)     		tx = 16565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339950561523438 × 215)
    floor (0.339950561523438 × 32768)
    floor (11139.5)     		ty = 11139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16565 / 11139 ti = "15/16565/11139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16565/11139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16565 ÷ 215
    16565 ÷ 32768     		x = 0.505523681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11139 ÷ 215
    11139 ÷ 32768     		y = 0.339935302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505523681640625 × 2 - 1) × π
    0.01104736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.03470632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339935302734375 × 2 - 1) × π
    0.32012939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00571615402878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03470632} λ = 0.03470632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00571615402878))-π/2
    2×atan(2.73386443995852)-π/2
    2×1.22013106402178-π/2
    2.44026212804356-1.57079632675     		φ = 0.86946580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03470632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.988526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86946580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.816721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16565 KachelY 11139 0.03470632 0.86946580 1.988526 49.816721
    Oben rechts KachelX + 1 16566 KachelY 11139 0.03489806 0.86946580 1.999512 49.816721
    Unten links KachelX 16565 KachelY + 1 11140 0.03470632 0.86934207 1.988526 49.809632
    Unten rechts KachelX + 1 16566 KachelY + 1 11140 0.03489806 0.86934207 1.999512 49.809632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86946580-0.86934207) × R
    0.000123729999999989 × 6371000     		dl = 788.283829999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86946580-0.86934207) × R
    0.000123729999999989 × 6371000     		dr = 788.283829999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03470632-0.03489806) × cos(0.86946580) × R
    0.000191740000000003 × 0.645234759731783 × 6371000     		do = 788.203000046134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03470632-0.03489806) × cos(0.86934207) × R
    0.000191740000000003 × 0.645329282577622 × 6371000     		du = 788.318466842582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86946580)-sin(0.86934207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645234759731783-0.645329282577622)×R²
    abs(0.03489806-0.03470632)×9.45228458388847e-05×R²
    0.000191740000000003×9.45228458388847e-05×6371000²
    0.000191740000000003×9.45228458388847e-05×40589641000000     		ar = 621373.190790939m²