Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16556 / 16701
↖ ↑ ↗
← S  3.480523°
E  1.889649°		 ← 1 219.32 m → S  3.480523°
E  1.900635°		 →
↑
1 219.41 m
↓
↑
1 219.41 m
↓
S  3.491490°
E  1.889649°		 ← 1 219.31 m →
1 486 844 m²		 S  3.491490°
E  1.900635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505264282226562 y=0.509689331054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505264282226562 × 215)
    floor (0.505264282226562 × 32768)
    floor (16556.5)     		tx = 16556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509689331054688 × 215)
    floor (0.509689331054688 × 32768)
    floor (16701.5)     		ty = 16701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16556 / 16701 ti = "15/16556/16701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16556/16701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16556 ÷ 215
    16556 ÷ 32768     		x = 0.5052490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16701 ÷ 215
    16701 ÷ 32768     		y = 0.509674072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5052490234375 × 2 - 1) × π
    0.010498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03298059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509674072265625 × 2 - 1) × π
    -0.01934814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0607839887182312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03298059} λ = 0.03298059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0607839887182312))-π/2
    2×atan(0.941026490161349)-π/2
    2×0.755024866620033-π/2
    1.51004973324007-1.57079632675     		φ = -0.06074659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03298059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.889649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06074659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.480523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16556 KachelY 16701 0.03298059 -0.06074659 1.889649 -3.480523
    Oben rechts KachelX + 1 16557 KachelY 16701 0.03317233 -0.06074659 1.900635 -3.480523
    Unten links KachelX 16556 KachelY + 1 16702 0.03298059 -0.06093799 1.889649 -3.491490
    Unten rechts KachelX + 1 16557 KachelY + 1 16702 0.03317233 -0.06093799 1.900635 -3.491490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06074659--0.06093799) × R
    0.000191399999999994 × 6371000     		dl = 1219.40939999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06074659--0.06093799) × R
    0.000191399999999994 × 6371000     		dr = 1219.40939999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03298059-0.03317233) × cos(-0.06074659) × R
    0.000191740000000003 × 0.998155493214971 × 6371000     		do = 1219.32233562806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03298059-0.03317233) × cos(-0.06093799) × R
    0.000191740000000003 × 0.998143855184032 × 6371000     		du = 1219.30811889413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06074659)-sin(-0.06093799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998155493214971-0.998143855184032)×R²
    abs(0.03317233-0.03298059)×1.16380309393982e-05×R²
    0.000191740000000003×1.16380309393982e-05×6371000²
    0.000191740000000003×1.16380309393982e-05×40589641000000     		ar = 1486844.45422438m²