Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1654 / 1906
↖ ↑ ↗
← S 82.355800°
E110.742187°		 ← 2 600.03 m → S 82.355800°
E110.917969°		 →
↑
2 596.12 m
↓
↑
2 596.12 m
↓
S 82.379148°
E110.742187°		 ← 2 592.13 m →
6 739 727 m²		 S 82.379148°
E110.917969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807861328125 y=0.930908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807861328125 × 211)
    floor (0.807861328125 × 2048)
    floor (1654.5)     		tx = 1654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.930908203125 × 211)
    floor (0.930908203125 × 2048)
    floor (1906.5)     		ty = 1906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1654 / 1906 ti = "11/1654/1906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1654/1906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1654 ÷ 211
    1654 ÷ 2048     		x = 0.8076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1906 ÷ 211
    1906 ÷ 2048     		y = 0.9306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8076171875 × 2 - 1) × π
    0.615234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93281579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9306640625 × 2 - 1) × π
    -0.861328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.70594210975293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93281579} λ = 1.93281579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70594210975293))-π/2
    2×atan(0.0668073543290722)-π/2
    2×0.0667082276176619-π/2
    0.133416455235324-1.57079632675     		φ = -1.43737987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93281579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.742187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43737987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.355800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1654 KachelY 1906 1.93281579 -1.43737987 110.742187 -82.355800
    Oben rechts KachelX + 1 1655 KachelY 1906 1.93588375 -1.43737987 110.917969 -82.355800
    Unten links KachelX 1654 KachelY + 1 1907 1.93281579 -1.43778736 110.742187 -82.379148
    Unten rechts KachelX + 1 1655 KachelY + 1 1907 1.93588375 -1.43778736 110.917969 -82.379148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43737987--1.43778736) × R
    0.000407489999999955 × 6371000     		dl = 2596.11878999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43737987--1.43778736) × R
    0.000407489999999955 × 6371000     		dr = 2596.11878999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93281579-1.93588375) × cos(-1.43737987) × R
    0.00306795999999987 × 0.13302100784328 × 6371000     		do = 2600.02504902078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93281579-1.93588375) × cos(-1.43778736) × R
    0.00306795999999987 × 0.132617128085192 × 6371000     		du = 2592.13082610934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43737987)-sin(-1.43778736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13302100784328-0.132617128085192)×R²
    abs(1.93588375-1.93281579)×0.000403879758087339×R²
    0.00306795999999987×0.000403879758087339×6371000²
    0.00306795999999987×0.000403879758087339×40589641000000     		ar = 6739726.80727004m²