Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16533 / 11115
↖ ↑ ↗
← N 49.986552°
E  1.636963°		 ← 785.47 m → N 49.986552°
E  1.647949°		 →
↑
785.54 m
↓
↑
785.54 m
↓
N 49.979488°
E  1.636963°		 ← 785.59 m →
617 070 m²		 N 49.979488°
E  1.647949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504562377929688 y=0.339218139648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504562377929688 × 215)
    floor (0.504562377929688 × 32768)
    floor (16533.5)     		tx = 16533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339218139648438 × 215)
    floor (0.339218139648438 × 32768)
    floor (11115.5)     		ty = 11115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16533 / 11115 ti = "15/16533/11115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16533/11115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16533 ÷ 215
    16533 ÷ 32768     		x = 0.504547119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11115 ÷ 215
    11115 ÷ 32768     		y = 0.339202880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504547119140625 × 2 - 1) × π
    0.00909423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02857039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339202880859375 × 2 - 1) × π
    0.32159423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0103180963923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02857039} λ = 0.02857039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0103180963923))-π/2
    2×atan(2.74647451971648)-π/2
    2×1.22161312158672-π/2
    2.44322624317345-1.57079632675     		φ = 0.87242992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02857039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.636963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87242992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.986552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16533 KachelY 11115 0.02857039 0.87242992 1.636963 49.986552
    Oben rechts KachelX + 1 16534 KachelY 11115 0.02876214 0.87242992 1.647949 49.986552
    Unten links KachelX 16533 KachelY + 1 11116 0.02857039 0.87230662 1.636963 49.979488
    Unten rechts KachelX + 1 16534 KachelY + 1 11116 0.02876214 0.87230662 1.647949 49.979488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87242992-0.87230662) × R
    0.000123299999999937 × 6371000     		dl = 785.544299999601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87242992-0.87230662) × R
    0.000123299999999937 × 6371000     		dr = 785.544299999601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02857039-0.02876214) × cos(0.87242992) × R
    0.000191749999999997 × 0.642967387205193 × 6371000     		do = 785.474196679802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02857039-0.02876214) × cos(0.87230662) × R
    0.000191749999999997 × 0.643061816992917 × 6371000     		du = 785.589555814854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87242992)-sin(0.87230662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642967387205193-0.643061816992917)×R²
    abs(0.02876214-0.02857039)×9.44297877236711e-05×R²
    0.000191749999999997×9.44297877236711e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.44297877236711e-05×40589641000000     		ar = 617070.08863589m²