Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16531 / 11051
↖ ↑ ↗
← N 50.436516°
E  1.614990°		 ← 778.06 m → N 50.436516°
E  1.625976°		 →
↑
778.15 m
↓
↑
778.15 m
↓
N 50.429518°
E  1.614990°		 ← 778.18 m →
605 496 m²		 N 50.429518°
E  1.625976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504501342773438 y=0.337265014648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504501342773438 × 215)
    floor (0.504501342773438 × 32768)
    floor (16531.5)     		tx = 16531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337265014648438 × 215)
    floor (0.337265014648438 × 32768)
    floor (11051.5)     		ty = 11051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16531 / 11051 ti = "15/16531/11051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16531/11051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16531 ÷ 215
    16531 ÷ 32768     		x = 0.504486083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11051 ÷ 215
    11051 ÷ 32768     		y = 0.337249755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504486083984375 × 2 - 1) × π
    0.00897216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02818690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337249755859375 × 2 - 1) × π
    0.32550048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02258994269504
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02818690} λ = 0.02818690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02258994269504))-π/2
    2×atan(2.78038648854236)-π/2
    2×1.22553979725377-π/2
    2.45107959450755-1.57079632675     		φ = 0.88028327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02818690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.614990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88028327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.436516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16531 KachelY 11051 0.02818690 0.88028327 1.614990 50.436516
    Oben rechts KachelX + 1 16532 KachelY 11051 0.02837864 0.88028327 1.625976 50.436516
    Unten links KachelX 16531 KachelY + 1 11052 0.02818690 0.88016113 1.614990 50.429518
    Unten rechts KachelX + 1 16532 KachelY + 1 11052 0.02837864 0.88016113 1.625976 50.429518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88028327-0.88016113) × R
    0.000122139999999993 × 6371000     		dl = 778.153939999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88028327-0.88016113) × R
    0.000122139999999993 × 6371000     		dr = 778.153939999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02818690-0.02837864) × cos(0.88028327) × R
    0.000191739999999999 × 0.636932791436168 × 6371000     		do = 778.061518642341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02818690-0.02837864) × cos(0.88016113) × R
    0.000191739999999999 × 0.637026946772422 × 6371000     		du = 778.17653649807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88028327)-sin(0.88016113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636932791436168-0.637026946772422)×R²
    abs(0.02837864-0.02818690)×9.41553362547864e-05×R²
    0.000191739999999999×9.41553362547864e-05×6371000²
    0.000191739999999999×9.41553362547864e-05×40589641000000     		ar = 605496.387845632m²