Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16516 / 11118
↖ ↑ ↗
← N 49.965356°
E  1.450195°		 ← 785.82 m → N 49.965356°
E  1.461182°		 →
↑
785.86 m
↓
↑
785.86 m
↓
N 49.958288°
E  1.450195°		 ← 785.94 m →
617 592 m²		 N 49.958288°
E  1.461182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504043579101562 y=0.339309692382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504043579101562 × 215)
    floor (0.504043579101562 × 32768)
    floor (16516.5)     		tx = 16516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339309692382812 × 215)
    floor (0.339309692382812 × 32768)
    floor (11118.5)     		ty = 11118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16516 / 11118 ti = "15/16516/11118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16516/11118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16516 ÷ 215
    16516 ÷ 32768     		x = 0.5040283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11118 ÷ 215
    11118 ÷ 32768     		y = 0.33929443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5040283203125 × 2 - 1) × π
    0.008056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02531068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33929443359375 × 2 - 1) × π
    0.3214111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00974285359686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02531068} λ = 0.02531068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00974285359686))-π/2
    2×atan(2.74489508435911)-π/2
    2×1.22142814966756-π/2
    2.44285629933512-1.57079632675     		φ = 0.87205997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02531068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.450195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87205997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.965356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16516 KachelY 11118 0.02531068 0.87205997 1.450195 49.965356
    Oben rechts KachelX + 1 16517 KachelY 11118 0.02550243 0.87205997 1.461182 49.965356
    Unten links KachelX 16516 KachelY + 1 11119 0.02531068 0.87193662 1.450195 49.958288
    Unten rechts KachelX + 1 16517 KachelY + 1 11119 0.02550243 0.87193662 1.461182 49.958288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87205997-0.87193662) × R
    0.000123349999999967 × 6371000     		dl = 785.862849999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87205997-0.87193662) × R
    0.000123349999999967 × 6371000     		dr = 785.862849999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02531068-0.02550243) × cos(0.87205997) × R
    0.000191750000000001 × 0.643250685520518 × 6371000     		do = 785.820285021275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02531068-0.02550243) × cos(0.87193662) × R
    0.000191750000000001 × 0.64334512424959 × 6371000     		du = 785.93565507943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87205997)-sin(0.87193662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643250685520518-0.64334512424959)×R²
    abs(0.02550243-0.02531068)×9.44387290724436e-05×R²
    0.000191750000000001×9.44387290724436e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.44387290724436e-05×40589641000000     		ar = 617592.302078393m²