Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16510 / 17020
↖ ↑ ↗
← S  6.970049°
E  1.384277°		 ← 1 212.61 m → S  6.970049°
E  1.395264°		 →
↑
1 212.59 m
↓
↑
1 212.59 m
↓
S  6.980954°
E  1.384277°		 ← 1 212.58 m →
1 470 386 m²		 S  6.980954°
E  1.395264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503860473632812 y=0.519424438476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503860473632812 × 215)
    floor (0.503860473632812 × 32768)
    floor (16510.5)     		tx = 16510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.519424438476562 × 215)
    floor (0.519424438476562 × 32768)
    floor (17020.5)     		ty = 17020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16510 / 17020 ti = "15/16510/17020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16510/17020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16510 ÷ 215
    16510 ÷ 32768     		x = 0.50384521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17020 ÷ 215
    17020 ÷ 32768     		y = 0.5194091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50384521484375 × 2 - 1) × π
    0.0076904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02416020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5194091796875 × 2 - 1) × π
    -0.038818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.121951472633423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02416020} λ = 0.02416020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.121951472633423))-π/2
    2×atan(0.885191323464218)-π/2
    2×0.724573007719913-π/2
    1.44914601543983-1.57079632675     		φ = -0.12165031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02416020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.384277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.12165031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.970049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16510 KachelY 17020 0.02416020 -0.12165031 1.384277 -6.970049
    Oben rechts KachelX + 1 16511 KachelY 17020 0.02435195 -0.12165031 1.395264 -6.970049
    Unten links KachelX 16510 KachelY + 1 17021 0.02416020 -0.12184064 1.384277 -6.980954
    Unten rechts KachelX + 1 16511 KachelY + 1 17021 0.02435195 -0.12184064 1.395264 -6.980954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.12165031--0.12184064) × R
    0.000190330000000002 × 6371000     		dl = 1212.59243000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.12165031--0.12184064) × R
    0.000190330000000002 × 6371000     		dr = 1212.59243000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02416020-0.02435195) × cos(-0.12165031) × R
    0.000191750000000001 × 0.992609721722415 × 6371000     		do = 1212.61099598769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02416020-0.02435195) × cos(-0.12184064) × R
    0.000191750000000001 × 0.992586607105744 × 6371000     		du = 1212.58275826471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.12165031)-sin(-0.12184064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992609721722415-0.992586607105744)×R²
    abs(0.02435195-0.02416020)×2.31146166705942e-05×R²
    0.000191750000000001×2.31146166705942e-05×6371000²
    0.000191750000000001×2.31146166705942e-05×40589641000000     		ar = 1470385.79828367m²