Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16506 / 16438
↖ ↑ ↗
← S  0.593251°
E  1.340332°		 ← 1 221.51 m → S  0.593251°
E  1.351318°		 →
↑
1 221.51 m
↓
↑
1 221.51 m
↓
S  0.604237°
E  1.340332°		 ← 1 221.51 m →
1 492 087 m²		 S  0.604237°
E  1.351318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503738403320312 y=0.501663208007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503738403320312 × 215)
    floor (0.503738403320312 × 32768)
    floor (16506.5)     		tx = 16506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501663208007812 × 215)
    floor (0.501663208007812 × 32768)
    floor (16438.5)     		ty = 16438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16506 / 16438 ti = "15/16506/16438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16506/16438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16506 ÷ 215
    16506 ÷ 32768     		x = 0.50372314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16438 ÷ 215
    16438 ÷ 32768     		y = 0.50164794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50372314453125 × 2 - 1) × π
    0.0074462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02339321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50164794921875 × 2 - 1) × π
    -0.0032958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0103543703179321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02339321} λ = 0.02339321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0103543703179321))-π/2
    2×atan(0.98969905163187)-π/2
    2×0.780221070746248-π/2
    1.5604421414925-1.57079632675     		φ = -0.01035419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02339321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.340332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01035419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.593251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16506 KachelY 16438 0.02339321 -0.01035419 1.340332 -0.593251
    Oben rechts KachelX + 1 16507 KachelY 16438 0.02358495 -0.01035419 1.351318 -0.593251
    Unten links KachelX 16506 KachelY + 1 16439 0.02339321 -0.01054592 1.340332 -0.604237
    Unten rechts KachelX + 1 16507 KachelY + 1 16439 0.02358495 -0.01054592 1.351318 -0.604237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01035419--0.01054592) × R
    0.000191730000000001 × 6371000     		dl = 1221.51183000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01035419--0.01054592) × R
    0.000191730000000001 × 6371000     		dr = 1221.51183000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02339321-0.02358495) × cos(-0.01035419) × R
    0.000191739999999999 × 0.99994639585363 × 6371000     		do = 1221.51005848595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02339321-0.02358495) × cos(-0.01054592) × R
    0.000191739999999999 × 0.999944392301054 × 6371000     		du = 1221.50761099513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01035419)-sin(-0.01054592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99994639585363-0.999944392301054)×R²
    abs(0.02358495-0.02339321)×2.00355257573559e-06×R²
    0.000191739999999999×2.00355257573559e-06×6371000²
    0.000191739999999999×2.00355257573559e-06×40589641000000     		ar = 1492087.49665589m²