Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16499 / 11125
↖ ↑ ↗
← N 49.915862°
E  1.263428°		 ← 786.63 m → N 49.915862°
E  1.274414°		 →
↑
786.69 m
↓
↑
786.69 m
↓
N 49.908787°
E  1.263428°		 ← 786.74 m →
618 879 m²		 N 49.908787°
E  1.274414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503524780273438 y=0.339523315429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503524780273438 × 215)
    floor (0.503524780273438 × 32768)
    floor (16499.5)     		tx = 16499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339523315429688 × 215)
    floor (0.339523315429688 × 32768)
    floor (11125.5)     		ty = 11125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16499 / 11125 ti = "15/16499/11125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16499/11125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16499 ÷ 215
    16499 ÷ 32768     		x = 0.503509521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11125 ÷ 215
    11125 ÷ 32768     		y = 0.339508056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503509521484375 × 2 - 1) × π
    0.00701904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02205097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339508056640625 × 2 - 1) × π
    0.32098388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0084006204075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02205097} λ = 0.02205097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0084006204075))-π/2
    2×atan(2.74121326655735)-π/2
    2×1.22099623161237-π/2
    2.44199246322475-1.57079632675     		φ = 0.87119614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02205097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.263428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87119614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.915862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16499 KachelY 11125 0.02205097 0.87119614 1.263428 49.915862
    Oben rechts KachelX + 1 16500 KachelY 11125 0.02224272 0.87119614 1.274414 49.915862
    Unten links KachelX 16499 KachelY + 1 11126 0.02205097 0.87107266 1.263428 49.908787
    Unten rechts KachelX + 1 16500 KachelY + 1 11126 0.02224272 0.87107266 1.274414 49.908787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87119614-0.87107266) × R
    0.000123479999999954 × 6371000     		dl = 786.691079999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87119614-0.87107266) × R
    0.000123479999999954 × 6371000     		dr = 786.691079999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02205097-0.02224272) × cos(0.87119614) × R
    0.000191750000000001 × 0.643911841750251 × 6371000     		do = 786.627979421899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02205097-0.02224272) × cos(0.87107266) × R
    0.000191750000000001 × 0.644006311351126 × 6371000     		du = 786.74338719426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87119614)-sin(0.87107266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643911841750251-0.644006311351126)×R²
    abs(0.02224272-0.02205097)×9.44696008755574e-05×R²
    0.000191750000000001×9.44696008755574e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.44696008755574e-05×40589641000000     		ar = 618878.610608489m²