Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16491 / 16429
↖ ↑ ↗
← S  0.494378°
E  1.175537°		 ← 1 221.59 m → S  0.494378°
E  1.186523°		 →
↑
1 221.64 m
↓
↑
1 221.64 m
↓
S  0.505365°
E  1.175537°		 ← 1 221.59 m →
1 492 346 m²		 S  0.505365°
E  1.186523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503280639648438 y=0.501388549804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503280639648438 × 215)
    floor (0.503280639648438 × 32768)
    floor (16491.5)     		tx = 16491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501388549804688 × 215)
    floor (0.501388549804688 × 32768)
    floor (16429.5)     		ty = 16429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16491 / 16429 ti = "15/16491/16429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16491/16429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16491 ÷ 215
    16491 ÷ 32768     		x = 0.503265380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16429 ÷ 215
    16429 ÷ 32768     		y = 0.501373291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503265380859375 × 2 - 1) × π
    0.00653076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02051699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501373291015625 × 2 - 1) × π
    -0.00274658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00862864193161011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02051699} λ = 0.02051699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00862864193161011))-π/2
    2×atan(0.991408477957712)-π/2
    2×0.781083895966668-π/2
    1.56216779193334-1.57079632675     		φ = -0.00862853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02051699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.175537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00862853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.494378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16491 KachelY 16429 0.02051699 -0.00862853 1.175537 -0.494378
    Oben rechts KachelX + 1 16492 KachelY 16429 0.02070874 -0.00862853 1.186523 -0.494378
    Unten links KachelX 16491 KachelY + 1 16430 0.02051699 -0.00882028 1.175537 -0.505365
    Unten rechts KachelX + 1 16492 KachelY + 1 16430 0.02070874 -0.00882028 1.186523 -0.505365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00862853--0.00882028) × R
    0.000191749999999999 × 6371000     		dl = 1221.63924999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00862853--0.00882028) × R
    0.000191749999999999 × 6371000     		dr = 1221.63924999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02051699-0.02070874) × cos(-0.00862853) × R
    0.000191750000000001 × 0.999962774465979 × 6371000     		do = 1221.59377382654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02051699-0.02070874) × cos(-0.00882028) × R
    0.000191750000000001 × 0.999961101582545 × 6371000     		du = 1221.59173016648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00862853)-sin(-0.00882028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999962774465979-0.999961101582545)×R²
    abs(0.02070874-0.02051699)×1.67288343400074e-06×R²
    0.000191750000000001×1.67288343400074e-06×6371000²
    0.000191750000000001×1.67288343400074e-06×40589641000000     		ar = 1492345.657927m²