Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1649 / 1875
↖ ↑ ↗
← S 81.595699°
E109.863281°		 ← 2 856.80 m → S 81.595699°
E110.039063°		 →
↑
2 852.49 m
↓
↑
2 852.49 m
↓
S 81.621352°
E109.863281°		 ← 2 848.14 m →
8 136 628 m²		 S 81.621352°
E110.039063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805419921875 y=0.915771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805419921875 × 211)
    floor (0.805419921875 × 2048)
    floor (1649.5)     		tx = 1649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915771484375 × 211)
    floor (0.915771484375 × 2048)
    floor (1875.5)     		ty = 1875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1649 / 1875 ti = "11/1649/1875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1649/1875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1649 ÷ 211
    1649 ÷ 2048     		x = 0.80517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1875 ÷ 211
    1875 ÷ 2048     		y = 0.91552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80517578125 × 2 - 1) × π
    0.6103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.91747598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91552734375 × 2 - 1) × π
    -0.8310546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.61083530090674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91747598} λ = 1.91747598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61083530090674))-π/2
    2×atan(0.0734731459383744)-π/2
    2×0.0733413624145633-π/2
    0.146682724829127-1.57079632675     		φ = -1.42411360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91747598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.863281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42411360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.595699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1649 KachelY 1875 1.91747598 -1.42411360 109.863281 -81.595699
    Oben rechts KachelX + 1 1650 KachelY 1875 1.92054395 -1.42411360 110.039063 -81.595699
    Unten links KachelX 1649 KachelY + 1 1876 1.91747598 -1.42456133 109.863281 -81.621352
    Unten rechts KachelX + 1 1650 KachelY + 1 1876 1.92054395 -1.42456133 110.039063 -81.621352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42411360--1.42456133) × R
    0.000447729999999869 × 6371000     		dl = 2852.48782999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42411360--1.42456133) × R
    0.000447729999999869 × 6371000     		dr = 2852.48782999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91747598-1.92054395) × cos(-1.42411360) × R
    0.00306797000000003 × 0.146157292456126 × 6371000     		do = 2856.79582716684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91747598-1.92054395) × cos(-1.42456133) × R
    0.00306797000000003 × 0.145714355831018 × 6371000     		du = 2848.1381715614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42411360)-sin(-1.42456133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146157292456126-0.145714355831018)×R²
    abs(1.92054395-1.91747598)×0.000442936625108081×R²
    0.00306797000000003×0.000442936625108081×6371000²
    0.00306797000000003×0.000442936625108081×40589641000000     		ar = 8136627.53709071m²