Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16483 / 10838
↖ ↑ ↗
← N 51.903613°
E  1.087646°		 ← 753.73 m → N 51.903613°
E  1.098633°		 →
↑
753.82 m
↓
↑
753.82 m
↓
N 51.896834°
E  1.087646°		 ← 753.85 m →
568 221 m²		 N 51.896834°
E  1.098633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503036499023438 y=0.330764770507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503036499023438 × 215)
    floor (0.503036499023438 × 32768)
    floor (16483.5)     		tx = 16483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330764770507812 × 215)
    floor (0.330764770507812 × 32768)
    floor (10838.5)     		ty = 10838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16483 / 10838 ti = "15/16483/10838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16483/10838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16483 ÷ 215
    16483 ÷ 32768     		x = 0.503021240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10838 ÷ 215
    10838 ÷ 32768     		y = 0.33074951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503021240234375 × 2 - 1) × π
    0.00604248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01898301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33074951171875 × 2 - 1) × π
    0.3385009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06343218117133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01898301} λ = 0.01898301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06343218117133))-π/2
    2×atan(2.89629455743116)-π/2
    2×1.23834263197701-π/2
    2.47668526395401-1.57079632675     		φ = 0.90588894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01898301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.087646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90588894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.903613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16483 KachelY 10838 0.01898301 0.90588894 1.087646 51.903613
    Oben rechts KachelX + 1 16484 KachelY 10838 0.01917476 0.90588894 1.098633 51.903613
    Unten links KachelX 16483 KachelY + 1 10839 0.01898301 0.90577062 1.087646 51.896834
    Unten rechts KachelX + 1 16484 KachelY + 1 10839 0.01917476 0.90577062 1.098633 51.896834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90588894-0.90577062) × R
    0.000118320000000005 × 6371000     		dl = 753.816720000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90588894-0.90577062) × R
    0.000118320000000005 × 6371000     		dr = 753.816720000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01898301-0.01917476) × cos(0.90588894) × R
    0.000191749999999997 × 0.616986251196249 × 6371000     		do = 753.734621171687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01898301-0.01917476) × cos(0.90577062) × R
    0.000191749999999997 × 0.617079361632592 × 6371000     		du = 753.848368535309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90588894)-sin(0.90577062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616986251196249-0.617079361632592)×R²
    abs(0.01917476-0.01898301)×9.31104363430801e-05×R²
    0.000191749999999997×9.31104363430801e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.31104363430801e-05×40589641000000     		ar = 568220.632877m²