Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1648 / 1904
↖ ↑ ↗
← S 82.308893°
E109.687500°		 ← 2 615.88 m → S 82.308893°
E109.863281°		 →
↑
2 611.92 m
↓
↑
2 611.92 m
↓
S 82.332382°
E109.687500°		 ← 2 607.94 m →
6 822 106 m²		 S 82.332382°
E109.863281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804931640625 y=0.929931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804931640625 × 211)
    floor (0.804931640625 × 2048)
    floor (1648.5)     		tx = 1648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929931640625 × 211)
    floor (0.929931640625 × 2048)
    floor (1904.5)     		ty = 1904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1648 / 1904 ti = "11/1648/1904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1648/1904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1648 ÷ 211
    1648 ÷ 2048     		x = 0.8046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1904 ÷ 211
    1904 ÷ 2048     		y = 0.9296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8046875 × 2 - 1) × π
    0.609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91440802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9296875 × 2 - 1) × π
    -0.859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.69980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91440802} λ = 1.91440802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69980618660156))-π/2
    2×atan(0.0672185393308908)-π/2
    2×0.0671175743461181-π/2
    0.134235148692236-1.57079632675     		φ = -1.43656118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91440802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43656118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.308893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1648 KachelY 1904 1.91440802 -1.43656118 109.687500 -82.308893
    Oben rechts KachelX + 1 1649 KachelY 1904 1.91747598 -1.43656118 109.863281 -82.308893
    Unten links KachelX 1648 KachelY + 1 1905 1.91440802 -1.43697115 109.687500 -82.332382
    Unten rechts KachelX + 1 1649 KachelY + 1 1905 1.91747598 -1.43697115 109.863281 -82.332382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43656118--1.43697115) × R
    0.000409969999999982 × 6371000     		dl = 2611.91886999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43656118--1.43697115) × R
    0.000409969999999982 × 6371000     		dr = 2611.91886999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91440802-1.91747598) × cos(-1.43656118) × R
    0.00306796000000009 × 0.133832377654437 × 6371000     		do = 2615.88406157269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91440802-1.91747598) × cos(-1.43697115) × R
    0.00306796000000009 × 0.133426084515866 × 6371000     		du = 2607.94266679109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43656118)-sin(-1.43697115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133832377654437-0.133426084515866)×R²
    abs(1.91747598-1.91440802)×0.000406293138571046×R²
    0.00306796000000009×0.000406293138571046×6371000²
    0.00306796000000009×0.000406293138571046×40589641000000     		ar = 6822105.8982612m²