Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1648 / 1871
↖ ↑ ↗
← S 81.492306°
E109.687500°		 ← 2 891.67 m → S 81.492306°
E109.863281°		 →
↑
2 887.27 m
↓
↑
2 887.27 m
↓
S 81.518272°
E109.687500°		 ← 2 882.91 m →
8 336 409 m²		 S 81.518272°
E109.863281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804931640625 y=0.913818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804931640625 × 211)
    floor (0.804931640625 × 2048)
    floor (1648.5)     		tx = 1648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913818359375 × 211)
    floor (0.913818359375 × 2048)
    floor (1871.5)     		ty = 1871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1648 / 1871 ti = "11/1648/1871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1648/1871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1648 ÷ 211
    1648 ÷ 2048     		x = 0.8046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1871 ÷ 211
    1871 ÷ 2048     		y = 0.91357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8046875 × 2 - 1) × π
    0.609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91440802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91357421875 × 2 - 1) × π
    -0.8271484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.598563454604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91440802} λ = 1.91440802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.598563454604))-π/2
    2×atan(0.0743803522556785)-π/2
    2×0.0742436375893174-π/2
    0.148487275178635-1.57079632675     		φ = -1.42230905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91440802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42230905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.492306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1648 KachelY 1871 1.91440802 -1.42230905 109.687500 -81.492306
    Oben rechts KachelX + 1 1649 KachelY 1871 1.91747598 -1.42230905 109.863281 -81.492306
    Unten links KachelX 1648 KachelY + 1 1872 1.91440802 -1.42276224 109.687500 -81.518272
    Unten rechts KachelX + 1 1649 KachelY + 1 1872 1.91747598 -1.42276224 109.863281 -81.518272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42230905--1.42276224) × R
    0.000453189999999992 × 6371000     		dl = 2887.27348999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42230905--1.42276224) × R
    0.000453189999999992 × 6371000     		dr = 2887.27348999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91440802-1.91747598) × cos(-1.42230905) × R
    0.00306796000000009 × 0.147942225107967 × 6371000     		do = 2891.67476119109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91440802-1.91747598) × cos(-1.42276224) × R
    0.00306796000000009 × 0.147494006831501 × 6371000     		du = 2882.91389878946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42230905)-sin(-1.42276224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147942225107967-0.147494006831501)×R²
    abs(1.91747598-1.91440802)×0.000448218276466128×R²
    0.00306796000000009×0.000448218276466128×6371000²
    0.00306796000000009×0.000448218276466128×40589641000000     		ar = 8336408.51947934m²