Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16476 / 11098
↖ ↑ ↗
← N 50.106488°
E  1.010742°		 ← 783.51 m → N 50.106488°
E  1.021729°		 →
↑
783.57 m
↓
↑
783.57 m
↓
N 50.099441°
E  1.010742°		 ← 783.63 m →
613 983 m²		 N 50.099441°
E  1.021729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502822875976562 y=0.338699340820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502822875976562 × 215)
    floor (0.502822875976562 × 32768)
    floor (16476.5)     		tx = 16476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338699340820312 × 215)
    floor (0.338699340820312 × 32768)
    floor (11098.5)     		ty = 11098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16476 / 11098 ti = "15/16476/11098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16476/11098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16476 ÷ 215
    16476 ÷ 32768     		x = 0.5028076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11098 ÷ 215
    11098 ÷ 32768     		y = 0.33868408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5028076171875 × 2 - 1) × π
    0.005615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01764078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33868408203125 × 2 - 1) × π
    0.3226318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01357780556647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01764078} λ = 0.01764078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01357780556647))-π/2
    2×atan(2.75544183538525)-π/2
    2×1.22265975711717-π/2
    2.44531951423435-1.57079632675     		φ = 0.87452319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01764078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.010742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87452319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.106488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16476 KachelY 11098 0.01764078 0.87452319 1.010742 50.106488
    Oben rechts KachelX + 1 16477 KachelY 11098 0.01783253 0.87452319 1.021729 50.106488
    Unten links KachelX 16476 KachelY + 1 11099 0.01764078 0.87440020 1.010742 50.099441
    Unten rechts KachelX + 1 16477 KachelY + 1 11099 0.01783253 0.87440020 1.021729 50.099441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87452319-0.87440020) × R
    0.000122990000000045 × 6371000     		dl = 783.569290000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87452319-0.87440020) × R
    0.000122990000000045 × 6371000     		dr = 783.569290000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01764078-0.01783253) × cos(0.87452319) × R
    0.000191750000000001 × 0.641362757702155 × 6371000     		do = 783.513918297197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01764078-0.01783253) × cos(0.87440020) × R
    0.000191750000000001 × 0.641457115425838 × 6371000     		du = 783.629189395988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87452319)-sin(0.87440020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641362757702155-0.641457115425838)×R²
    abs(0.01783253-0.01764078)×9.43577236827142e-05×R²
    0.000191750000000001×9.43577236827142e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.43577236827142e-05×40589641000000     		ar = 613982.606885908m²