Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16475 / 11171
↖ ↑ ↗
← N 49.589349°
E  0.999756°		 ← 791.94 m → N 49.589349°
E  1.010742°		 →
↑
792.04 m
↓
↑
792.04 m
↓
N 49.582226°
E  0.999756°		 ← 792.06 m →
627 297 m²		 N 49.582226°
E  1.010742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502792358398438 y=0.340927124023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502792358398438 × 215)
    floor (0.502792358398438 × 32768)
    floor (16475.5)     		tx = 16475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340927124023438 × 215)
    floor (0.340927124023438 × 32768)
    floor (11171.5)     		ty = 11171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16475 / 11171 ti = "15/16475/11171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16475/11171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16475 ÷ 215
    16475 ÷ 32768     		x = 0.502777099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11171 ÷ 215
    11171 ÷ 32768     		y = 0.340911865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502777099609375 × 2 - 1) × π
    0.00555419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01744903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340911865234375 × 2 - 1) × π
    0.31817626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.999580230877411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01744903} λ = 0.01744903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.999580230877411))-π/2
    2×atan(2.7171410171364)-π/2
    2×1.21814686668789-π/2
    2.43629373337578-1.57079632675     		φ = 0.86549741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01744903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.999756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86549741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.589349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16475 KachelY 11171 0.01744903 0.86549741 0.999756 49.589349
    Oben rechts KachelX + 1 16476 KachelY 11171 0.01764078 0.86549741 1.010742 49.589349
    Unten links KachelX 16475 KachelY + 1 11172 0.01744903 0.86537309 0.999756 49.582226
    Unten rechts KachelX + 1 16476 KachelY + 1 11172 0.01764078 0.86537309 1.010742 49.582226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86549741-0.86537309) × R
    0.000124320000000067 × 6371000     		dl = 792.042720000424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86549741-0.86537309) × R
    0.000124320000000067 × 6371000     		dr = 792.042720000424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01744903-0.01764078) × cos(0.86549741) × R
    0.000191749999999997 × 0.64826145906491 × 6371000     		do = 791.941642655951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01744903-0.01764078) × cos(0.86537309) × R
    0.000191749999999997 × 0.648356113517158 × 6371000     		du = 792.057276250005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86549741)-sin(0.86537309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64826145906491-0.648356113517158)×R²
    abs(0.01764078-0.01744903)×9.46544522484327e-05×R²
    0.000191749999999997×9.46544522484327e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.46544522484327e-05×40589641000000     		ar = 627297.40691163m²