Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16465 / 10863
↖ ↑ ↗
← N 51.733832°
E  0.889893°		 ← 756.54 m → N 51.733832°
E  0.900879°		 →
↑
756.62 m
↓
↑
756.62 m
↓
N 51.727028°
E  0.889893°		 ← 756.65 m →
572 457 m²		 N 51.727028°
E  0.900879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502487182617188 y=0.331527709960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502487182617188 × 215)
    floor (0.502487182617188 × 32768)
    floor (16465.5)     		tx = 16465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331527709960938 × 215)
    floor (0.331527709960938 × 32768)
    floor (10863.5)     		ty = 10863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16465 / 10863 ti = "15/16465/10863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16465/10863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16465 ÷ 215
    16465 ÷ 32768     		x = 0.502471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10863 ÷ 215
    10863 ÷ 32768     		y = 0.331512451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502471923828125 × 2 - 1) × π
    0.00494384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01553156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331512451171875 × 2 - 1) × π
    0.33697509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05863849120932
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01553156} λ = 0.01553156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05863849120932))-π/2
    2×atan(2.88244384382108)-π/2
    2×1.23686102079565-π/2
    2.47372204159131-1.57079632675     		φ = 0.90292571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01553156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.889893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90292571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.733832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16465 KachelY 10863 0.01553156 0.90292571 0.889893 51.733832
    Oben rechts KachelX + 1 16466 KachelY 10863 0.01572330 0.90292571 0.900879 51.733832
    Unten links KachelX 16465 KachelY + 1 10864 0.01553156 0.90280695 0.889893 51.727028
    Unten rechts KachelX + 1 16466 KachelY + 1 10864 0.01572330 0.90280695 0.900879 51.727028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90292571-0.90280695) × R
    0.000118759999999996 × 6371000     		dl = 756.619959999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90292571-0.90280695) × R
    0.000118759999999996 × 6371000     		dr = 756.619959999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01553156-0.01572330) × cos(0.90292571) × R
    0.000191739999999999 × 0.619315523747349 × 6371000     		do = 756.540695352048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01553156-0.01572330) × cos(0.90280695) × R
    0.000191739999999999 × 0.619408762868 × 6371000     		du = 756.654593981206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90292571)-sin(0.90280695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619315523747349-0.619408762868)×R²
    abs(0.01572330-0.01553156)×9.32391206508454e-05×R²
    0.000191739999999999×9.32391206508454e-05×6371000²
    0.000191739999999999×9.32391206508454e-05×40589641000000     		ar = 572456.880316232m²