Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16457 / 11191
↖ ↑ ↗
← N 49.446700°
E  0.802002°		 ← 794.26 m → N 49.446700°
E  0.812988°		 →
↑
794.27 m
↓
↑
794.27 m
↓
N 49.439557°
E  0.802002°		 ← 794.37 m →
630 901 m²		 N 49.439557°
E  0.812988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502243041992188 y=0.341537475585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502243041992188 × 215)
    floor (0.502243041992188 × 32768)
    floor (16457.5)     		tx = 16457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341537475585938 × 215)
    floor (0.341537475585938 × 32768)
    floor (11191.5)     		ty = 11191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16457 / 11191 ti = "15/16457/11191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16457/11191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16457 ÷ 215
    16457 ÷ 32768     		x = 0.502227783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11191 ÷ 215
    11191 ÷ 32768     		y = 0.341522216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502227783203125 × 2 - 1) × π
    0.00445556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01399757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341522216796875 × 2 - 1) × π
    0.31695556640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.995745278907806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01399757} λ = 0.01399757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.995745278907806))-π/2
    2×atan(2.706740866626)-π/2
    2×1.21690202560256-π/2
    2.43380405120511-1.57079632675     		φ = 0.86300772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01399757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.802002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86300772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.446700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16457 KachelY 11191 0.01399757 0.86300772 0.802002 49.446700
    Oben rechts KachelX + 1 16458 KachelY 11191 0.01418932 0.86300772 0.812988 49.446700
    Unten links KachelX 16457 KachelY + 1 11192 0.01399757 0.86288305 0.802002 49.439557
    Unten rechts KachelX + 1 16458 KachelY + 1 11192 0.01418932 0.86288305 0.812988 49.439557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86300772-0.86288305) × R
    0.000124670000000049 × 6371000     		dl = 794.272570000312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86300772-0.86288305) × R
    0.000124670000000049 × 6371000     		dr = 794.272570000312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01399757-0.01418932) × cos(0.86300772) × R
    0.000191749999999999 × 0.65015514227119 × 6371000     		do = 794.255040387816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01399757-0.01418932) × cos(0.86288305) × R
    0.000191749999999999 × 0.650249861669064 × 6371000     		du = 794.370753321996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86300772)-sin(0.86288305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65015514227119-0.650249861669064)×R²
    abs(0.01418932-0.01399757)×9.47193978741989e-05×R²
    0.000191749999999999×9.47193978741989e-05×6371000²
    0.000191749999999999×9.47193978741989e-05×40589641000000     		ar = 630900.946786594m²