Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16453 / 10898
↖ ↑ ↗
← N 51.495065°
E  0.758056°		 ← 760.57 m → N 51.495065°
E  0.769043°		 →
↑
760.63 m
↓
↑
760.63 m
↓
N 51.488224°
E  0.758056°		 ← 760.68 m →
578 559 m²		 N 51.488224°
E  0.769043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502120971679688 y=0.332595825195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502120971679688 × 215)
    floor (0.502120971679688 × 32768)
    floor (16453.5)     		tx = 16453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332595825195312 × 215)
    floor (0.332595825195312 × 32768)
    floor (10898.5)     		ty = 10898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16453 / 10898 ti = "15/16453/10898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16453/10898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16453 ÷ 215
    16453 ÷ 32768     		x = 0.502105712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10898 ÷ 215
    10898 ÷ 32768     		y = 0.33258056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502105712890625 × 2 - 1) × π
    0.00421142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01323058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33258056640625 × 2 - 1) × π
    0.3348388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05192732526251
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01323058} λ = 0.01323058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05192732526251))-π/2
    2×atan(2.86316405215651)-π/2
    2×1.2347773774224-π/2
    2.46955475484479-1.57079632675     		φ = 0.89875843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01323058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.758056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89875843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.495065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16453 KachelY 10898 0.01323058 0.89875843 0.758056 51.495065
    Oben rechts KachelX + 1 16454 KachelY 10898 0.01342233 0.89875843 0.769043 51.495065
    Unten links KachelX 16453 KachelY + 1 10899 0.01323058 0.89863904 0.758056 51.488224
    Unten rechts KachelX + 1 16454 KachelY + 1 10899 0.01342233 0.89863904 0.769043 51.488224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89875843-0.89863904) × R
    0.000119390000000053 × 6371000     		dl = 760.633690000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89875843-0.89863904) × R
    0.000119390000000053 × 6371000     		dr = 760.633690000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01323058-0.01342233) × cos(0.89875843) × R
    0.000191749999999999 × 0.622582044107387 × 6371000     		do = 760.570661426812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01323058-0.01342233) × cos(0.89863904) × R
    0.000191749999999999 × 0.622675468855821 × 6371000     		du = 760.68479276642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89875843)-sin(0.89863904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622582044107387-0.622675468855821)×R²
    abs(0.01342233-0.01323058)×9.3424748433657e-05×R²
    0.000191749999999999×9.3424748433657e-05×6371000²
    0.000191749999999999×9.3424748433657e-05×40589641000000     		ar = 578559.075464905m²