Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16450 / 11458
↖ ↑ ↗
← N 47.502359°
E  0.725098°		 ← 825.29 m → N 47.502359°
E  0.736084°		 →
↑
825.36 m
↓
↑
825.36 m
↓
N 47.494937°
E  0.725098°		 ← 825.41 m →
681 212 m²		 N 47.494937°
E  0.736084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502029418945312 y=0.349685668945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502029418945312 × 215)
    floor (0.502029418945312 × 32768)
    floor (16450.5)     		tx = 16450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349685668945312 × 215)
    floor (0.349685668945312 × 32768)
    floor (11458.5)     		ty = 11458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16450 / 11458 ti = "15/16450/11458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16450/11458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16450 ÷ 215
    16450 ÷ 32768     		x = 0.50201416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11458 ÷ 215
    11458 ÷ 32768     		y = 0.34967041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50201416015625 × 2 - 1) × π
    0.0040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01265534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34967041015625 × 2 - 1) × π
    0.3006591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.944548670113586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01265534} λ = 0.01265534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.944548670113586))-π/2
    2×atan(2.57165245301831)-π/2
    2×1.19993444647636-π/2
    2.39986889295271-1.57079632675     		φ = 0.82907257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01265534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.725098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82907257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.502359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16450 KachelY 11458 0.01265534 0.82907257 0.725098 47.502359
    Oben rechts KachelX + 1 16451 KachelY 11458 0.01284709 0.82907257 0.736084 47.502359
    Unten links KachelX 16450 KachelY + 1 11459 0.01265534 0.82894302 0.725098 47.494937
    Unten rechts KachelX + 1 16451 KachelY + 1 11459 0.01284709 0.82894302 0.736084 47.494937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82907257-0.82894302) × R
    0.000129550000000034 × 6371000     		dl = 825.363050000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82907257-0.82894302) × R
    0.000129550000000034 × 6371000     		dr = 825.363050000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01265534-0.01284709) × cos(0.82907257) × R
    0.000191750000000001 × 0.675559849425457 × 6371000     		do = 825.290427782232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01265534-0.01284709) × cos(0.82894302) × R
    0.000191750000000001 × 0.675655361638838 × 6371000     		du = 825.407109250953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82907257)-sin(0.82894302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675559849425457-0.675655361638838)×R²
    abs(0.01284709-0.01265534)×9.55122133808883e-05×R²
    0.000191750000000001×9.55122133808883e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.55122133808883e-05×40589641000000     		ar = 681212.377850062m²