Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16449 / 12095
↖ ↑ ↗
← N 42.561173°
E  0.714111°		 ← 899.81 m → N 42.561173°
E  0.725098°		 →
↑
899.84 m
↓
↑
899.84 m
↓
N 42.553080°
E  0.714111°		 ← 899.92 m →
809 733 m²		 N 42.553080°
E  0.725098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501998901367188 y=0.369125366210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501998901367188 × 215)
    floor (0.501998901367188 × 32768)
    floor (16449.5)     		tx = 16449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369125366210938 × 215)
    floor (0.369125366210938 × 32768)
    floor (12095.5)     		ty = 12095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16449 / 12095 ti = "15/16449/12095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16449/12095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16449 ÷ 215
    16449 ÷ 32768     		x = 0.501983642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12095 ÷ 215
    12095 ÷ 32768     		y = 0.369110107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501983642578125 × 2 - 1) × π
    0.00396728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01246359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369110107421875 × 2 - 1) × π
    0.26177978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.822405449881683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01246359} λ = 0.01246359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.822405449881683))-π/2
    2×atan(2.27596798513882)-π/2
    2×1.15681446330666-π/2
    2.31362892661332-1.57079632675     		φ = 0.74283260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01246359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.714111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74283260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.561173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16449 KachelY 12095 0.01246359 0.74283260 0.714111 42.561173
    Oben rechts KachelX + 1 16450 KachelY 12095 0.01265534 0.74283260 0.725098 42.561173
    Unten links KachelX 16449 KachelY + 1 12096 0.01246359 0.74269136 0.714111 42.553080
    Unten rechts KachelX + 1 16450 KachelY + 1 12096 0.01265534 0.74269136 0.725098 42.553080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74283260-0.74269136) × R
    0.000141239999999931 × 6371000     		dl = 899.840039999563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74283260-0.74269136) × R
    0.000141239999999931 × 6371000     		dr = 899.840039999563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01246359-0.01265534) × cos(0.74283260) × R
    0.000191749999999999 × 0.736555610750693 × 6371000     		do = 899.805243900764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01246359-0.01265534) × cos(0.74269136) × R
    0.000191749999999999 × 0.736651134889731 × 6371000     		du = 899.921939938336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74283260)-sin(0.74269136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736555610750693-0.736651134889731)×R²
    abs(0.01265534-0.01246359)×9.55241390382389e-05×R²
    0.000191749999999999×9.55241390382389e-05×6371000²
    0.000191749999999999×9.55241390382389e-05×40589641000000     		ar = 809733.291893082m²