Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16444 / 12012
↖ ↑ ↗
← N 43.229195°
E  0.659180°		 ← 890.06 m → N 43.229195°
E  0.670166°		 →
↑
890.16 m
↓
↑
890.16 m
↓
N 43.221190°
E  0.659180°		 ← 890.18 m →
792 348 m²		 N 43.221190°
E  0.670166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501846313476562 y=0.366592407226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501846313476562 × 215)
    floor (0.501846313476562 × 32768)
    floor (16444.5)     		tx = 16444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366592407226562 × 215)
    floor (0.366592407226562 × 32768)
    floor (12012.5)     		ty = 12012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16444 / 12012 ti = "15/16444/12012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16444/12012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16444 ÷ 215
    16444 ÷ 32768     		x = 0.5018310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12012 ÷ 215
    12012 ÷ 32768     		y = 0.3665771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5018310546875 × 2 - 1) × π
    0.003662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01150486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3665771484375 × 2 - 1) × π
    0.266845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.838320500555542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01150486} λ = 0.01150486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.838320500555542))-π/2
    2×atan(2.31247990481173)-π/2
    2×1.16264405725159-π/2
    2.32528811450317-1.57079632675     		φ = 0.75449179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01150486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75449179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.229195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16444 KachelY 12012 0.01150486 0.75449179 0.659180 43.229195
    Oben rechts KachelX + 1 16445 KachelY 12012 0.01169660 0.75449179 0.670166 43.229195
    Unten links KachelX 16444 KachelY + 1 12013 0.01150486 0.75435207 0.659180 43.221190
    Unten rechts KachelX + 1 16445 KachelY + 1 12013 0.01169660 0.75435207 0.670166 43.221190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75449179-0.75435207) × R
    0.000139719999999954 × 6371000     		dl = 890.156119999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75449179-0.75435207) × R
    0.000139719999999954 × 6371000     		dr = 890.156119999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01150486-0.01169660) × cos(0.75449179) × R
    0.000191739999999999 × 0.728619719673954 × 6371000     		do = 890.064027515356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01150486-0.01169660) × cos(0.75435207) × R
    0.000191739999999999 × 0.728715409369674 × 6371000     		du = 890.180919707077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75449179)-sin(0.75435207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728619719673954-0.728715409369674)×R²
    abs(0.01169660-0.01150486)×9.5689695719714e-05×R²
    0.000191739999999999×9.5689695719714e-05×6371000²
    0.000191739999999999×9.5689695719714e-05×40589641000000     		ar = 792347.968723099m²