Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16439 / 12039
↖ ↑ ↗
← N 43.012681°
E  0.604248°		 ← 893.27 m → N 43.012681°
E  0.615235°		 →
↑
893.28 m
↓
↑
893.28 m
↓
N 43.004647°
E  0.604248°		 ← 893.38 m →
797 987 m²		 N 43.004647°
E  0.615235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501693725585938 y=0.367416381835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501693725585938 × 215)
    floor (0.501693725585938 × 32768)
    floor (16439.5)     		tx = 16439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367416381835938 × 215)
    floor (0.367416381835938 × 32768)
    floor (12039.5)     		ty = 12039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16439 / 12039 ti = "15/16439/12039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16439/12039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16439 ÷ 215
    16439 ÷ 32768     		x = 0.501678466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12039 ÷ 215
    12039 ÷ 32768     		y = 0.367401123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501678466796875 × 2 - 1) × π
    0.00335693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01054612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367401123046875 × 2 - 1) × π
    0.26519775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.833143315396576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01054612} λ = 0.01054612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.833143315396576))-π/2
    2×atan(2.30053870573933)-π/2
    2×1.16075461417758-π/2
    2.32150922835515-1.57079632675     		φ = 0.75071290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01054612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.604248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75071290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.012681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16439 KachelY 12039 0.01054612 0.75071290 0.604248 43.012681
    Oben rechts KachelX + 1 16440 KachelY 12039 0.01073787 0.75071290 0.615235 43.012681
    Unten links KachelX 16439 KachelY + 1 12040 0.01054612 0.75057269 0.604248 43.004647
    Unten rechts KachelX + 1 16440 KachelY + 1 12040 0.01073787 0.75057269 0.615235 43.004647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75071290-0.75057269) × R
    0.000140209999999974 × 6371000     		dl = 893.277909999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75071290-0.75057269) × R
    0.000140209999999974 × 6371000     		dr = 893.277909999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01054612-0.01073787) × cos(0.75071290) × R
    0.000191749999999999 × 0.731202742711166 × 6371000     		do = 893.265970203608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01054612-0.01073787) × cos(0.75057269) × R
    0.000191749999999999 × 0.731298381206282 × 6371000     		du = 893.382805943053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75071290)-sin(0.75057269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731202742711166-0.731298381206282)×R²
    abs(0.01073787-0.01054612)×9.56384951164013e-05×R²
    0.000191749999999999×9.56384951164013e-05×6371000²
    0.000191749999999999×9.56384951164013e-05×40589641000000     		ar = 797986.943637543m²