Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16438 / 12040
↖ ↑ ↗
← N 43.004647°
E  0.593262°		 ← 893.38 m → N 43.004647°
E  0.604248°		 →
↑
893.47 m
↓
↑
893.47 m
↓
N 42.996612°
E  0.593262°		 ← 893.50 m →
798 262 m²		 N 42.996612°
E  0.604248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501663208007812 y=0.367446899414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501663208007812 × 215)
    floor (0.501663208007812 × 32768)
    floor (16438.5)     		tx = 16438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367446899414062 × 215)
    floor (0.367446899414062 × 32768)
    floor (12040.5)     		ty = 12040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16438 / 12040 ti = "15/16438/12040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16438/12040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16438 ÷ 215
    16438 ÷ 32768     		x = 0.50164794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12040 ÷ 215
    12040 ÷ 32768     		y = 0.367431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50164794921875 × 2 - 1) × π
    0.0032958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01035437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367431640625 × 2 - 1) × π
    0.26513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.832951567798096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01035437} λ = 0.01035437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.832951567798096))-π/2
    2×atan(2.30009762525671)-π/2
    2×1.16068450640791-π/2
    2.32136901281582-1.57079632675     		φ = 0.75057269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01035437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.593262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75057269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.004647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16438 KachelY 12040 0.01035437 0.75057269 0.593262 43.004647
    Oben rechts KachelX + 1 16439 KachelY 12040 0.01054612 0.75057269 0.604248 43.004647
    Unten links KachelX 16438 KachelY + 1 12041 0.01035437 0.75043245 0.593262 42.996612
    Unten rechts KachelX + 1 16439 KachelY + 1 12041 0.01054612 0.75043245 0.604248 42.996612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75057269-0.75043245) × R
    0.000140240000000014 × 6371000     		dl = 893.469040000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75057269-0.75043245) × R
    0.000140240000000014 × 6371000     		dr = 893.469040000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01035437-0.01054612) × cos(0.75057269) × R
    0.000191750000000001 × 0.731298381206282 × 6371000     		do = 893.382805943061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01035437-0.01054612) × cos(0.75043245) × R
    0.000191750000000001 × 0.731394025783571 × 6371000     		du = 893.499649112727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75057269)-sin(0.75043245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731298381206282-0.731394025783571)×R²
    abs(0.01054612-0.01035437)×9.56445772892778e-05×R²
    0.000191750000000001×9.56445772892778e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.56445772892778e-05×40589641000000     		ar = 798262.077164196m²