Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16437 / 12094
↖ ↑ ↗
← N 42.569264°
E  0.582275°		 ← 899.69 m → N 42.569264°
E  0.593262°		 →
↑
899.71 m
↓
↑
899.71 m
↓
N 42.561173°
E  0.582275°		 ← 899.81 m →
809 514 m²		 N 42.561173°
E  0.593262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501632690429688 y=0.369094848632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501632690429688 × 215)
    floor (0.501632690429688 × 32768)
    floor (16437.5)     		tx = 16437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369094848632812 × 215)
    floor (0.369094848632812 × 32768)
    floor (12094.5)     		ty = 12094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16437 / 12094 ti = "15/16437/12094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16437/12094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16437 ÷ 215
    16437 ÷ 32768     		x = 0.501617431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12094 ÷ 215
    12094 ÷ 32768     		y = 0.36907958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501617431640625 × 2 - 1) × π
    0.00323486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01016262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36907958984375 × 2 - 1) × π
    0.2618408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.822597197480164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01016262} λ = 0.01016262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.822597197480164))-π/2
    2×atan(2.27640443837728)-π/2
    2×1.15688507511214-π/2
    2.31377015022428-1.57079632675     		φ = 0.74297382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01016262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.582275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74297382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.569264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16437 KachelY 12094 0.01016262 0.74297382 0.582275 42.569264
    Oben rechts KachelX + 1 16438 KachelY 12094 0.01035437 0.74297382 0.593262 42.569264
    Unten links KachelX 16437 KachelY + 1 12095 0.01016262 0.74283260 0.582275 42.561173
    Unten rechts KachelX + 1 16438 KachelY + 1 12095 0.01035437 0.74283260 0.593262 42.561173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74297382-0.74283260) × R
    0.000141220000000053 × 6371000     		dl = 899.712620000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74297382-0.74283260) × R
    0.000141220000000053 × 6371000     		dr = 899.712620000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01016262-0.01035437) × cos(0.74297382) × R
    0.000191749999999999 × 0.73646008544792 × 6371000     		do = 899.688546441529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01016262-0.01035437) × cos(0.74283260) × R
    0.000191749999999999 × 0.736555610750693 × 6371000     		du = 899.805243900764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74297382)-sin(0.74283260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73646008544792-0.736555610750693)×R²
    abs(0.01035437-0.01016262)×9.5525302772681e-05×R²
    0.000191749999999999×9.5525302772681e-05×6371000²
    0.000191749999999999×9.5525302772681e-05×40589641000000     		ar = 809513.637736728m²