Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16432 / 12070
↖ ↑ ↗
← N 42.763146°
E  0.527343°		 ← 896.89 m → N 42.763146°
E  0.538330°		 →
↑
896.91 m
↓
↑
896.91 m
↓
N 42.755080°
E  0.527343°		 ← 897 m →
804 479 m²		 N 42.755080°
E  0.538330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501480102539062 y=0.368362426757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501480102539062 × 215)
    floor (0.501480102539062 × 32768)
    floor (16432.5)     		tx = 16432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368362426757812 × 215)
    floor (0.368362426757812 × 32768)
    floor (12070.5)     		ty = 12070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16432 / 12070 ti = "15/16432/12070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16432/12070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16432 ÷ 215
    16432 ÷ 32768     		x = 0.50146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12070 ÷ 215
    12070 ÷ 32768     		y = 0.36834716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50146484375 × 2 - 1) × π
    0.0029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00920388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36834716796875 × 2 - 1) × π
    0.2633056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.827199139843689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00920388} λ = 0.00920388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.827199139843689))-π/2
    2×atan(2.28690446212013)-π/2
    2×1.15857701033273-π/2
    2.31715402066546-1.57079632675     		φ = 0.74635769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00920388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.527343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74635769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.763146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16432 KachelY 12070 0.00920388 0.74635769 0.527343 42.763146
    Oben rechts KachelX + 1 16433 KachelY 12070 0.00939563 0.74635769 0.538330 42.763146
    Unten links KachelX 16432 KachelY + 1 12071 0.00920388 0.74621691 0.527343 42.755080
    Unten rechts KachelX + 1 16433 KachelY + 1 12071 0.00939563 0.74621691 0.538330 42.755080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74635769-0.74621691) × R
    0.000140779999999951 × 6371000     		dl = 896.909379999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74635769-0.74621691) × R
    0.000140779999999951 × 6371000     		dr = 896.909379999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00920388-0.00939563) × cos(0.74635769) × R
    0.000191750000000001 × 0.734166749614995 × 6371000     		do = 896.886917374605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00920388-0.00939563) × cos(0.74621691) × R
    0.000191750000000001 × 0.734262327624382 × 6371000     		du = 897.003679222309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74635769)-sin(0.74621691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734166749614995-0.734262327624382)×R²
    abs(0.00939563-0.00920388)×9.55780093867542e-05×R²
    0.000191750000000001×9.55780093867542e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.55780093867542e-05×40589641000000     		ar = 804478.652719159m²