Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16431 / 12072
↖ ↑ ↗
← N 42.747012°
E  0.516358°		 ← 897.07 m → N 42.747012°
E  0.527343°		 →
↑
897.16 m
↓
↑
897.16 m
↓
N 42.738944°
E  0.516358°		 ← 897.19 m →
804 875 m²		 N 42.738944°
E  0.527343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501449584960938 y=0.368423461914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501449584960938 × 215)
    floor (0.501449584960938 × 32768)
    floor (16431.5)     		tx = 16431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368423461914062 × 215)
    floor (0.368423461914062 × 32768)
    floor (12072.5)     		ty = 12072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16431 / 12072 ti = "15/16431/12072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16431/12072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16431 ÷ 215
    16431 ÷ 32768     		x = 0.501434326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12072 ÷ 215
    12072 ÷ 32768     		y = 0.368408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501434326171875 × 2 - 1) × π
    0.00286865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00901214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368408203125 × 2 - 1) × π
    0.26318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.826815644646729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00901214} λ = 0.00901214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.826815644646729))-π/2
    2×atan(2.28602761338739)-π/2
    2×1.15843621729482-π/2
    2.31687243458964-1.57079632675     		φ = 0.74607611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00901214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.516358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74607611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.747012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16431 KachelY 12072 0.00901214 0.74607611 0.516358 42.747012
    Oben rechts KachelX + 1 16432 KachelY 12072 0.00920388 0.74607611 0.527343 42.747012
    Unten links KachelX 16431 KachelY + 1 12073 0.00901214 0.74593529 0.516358 42.738944
    Unten rechts KachelX + 1 16432 KachelY + 1 12073 0.00920388 0.74593529 0.527343 42.738944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74607611-0.74593529) × R
    0.00014081999999993 × 6371000     		dl = 897.164219999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74607611-0.74593529) × R
    0.00014081999999993 × 6371000     		dr = 897.164219999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00901214-0.00920388) × cos(0.74607611) × R
    0.000191739999999999 × 0.734357904656667 × 6371000     		do = 897.073653934233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00901214-0.00920388) × cos(0.74593529) × R
    0.000191739999999999 × 0.734453480703751 × 6371000     		du = 897.190407295561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74607611)-sin(0.74593529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734357904656667-0.734453480703751)×R²
    abs(0.00920388-0.00901214)×9.55760470844336e-05×R²
    0.000191739999999999×9.55760470844336e-05×6371000²
    0.000191739999999999×9.55760470844336e-05×40589641000000     		ar = 804874.759812946m²