Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16431 / 12049
↖ ↑ ↗
← N 42.932296°
E  0.516358°		 ← 894.39 m → N 42.932296°
E  0.527343°		 →
↑
894.49 m
↓
↑
894.49 m
↓
N 42.924252°
E  0.516358°		 ← 894.50 m →
800 072 m²		 N 42.924252°
E  0.527343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501449584960938 y=0.367721557617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501449584960938 × 215)
    floor (0.501449584960938 × 32768)
    floor (16431.5)     		tx = 16431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367721557617188 × 215)
    floor (0.367721557617188 × 32768)
    floor (12049.5)     		ty = 12049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16431 / 12049 ti = "15/16431/12049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16431/12049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16431 ÷ 215
    16431 ÷ 32768     		x = 0.501434326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12049 ÷ 215
    12049 ÷ 32768     		y = 0.367706298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501434326171875 × 2 - 1) × π
    0.00286865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00901214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367706298828125 × 2 - 1) × π
    0.26458740234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.831225839411774
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00901214} λ = 0.00901214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.831225839411774))-π/2
    2×atan(2.29613170452874)-π/2
    2×1.16005312387522-π/2
    2.32010624775044-1.57079632675     		φ = 0.74930992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00901214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.516358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74930992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.932296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16431 KachelY 12049 0.00901214 0.74930992 0.516358 42.932296
    Oben rechts KachelX + 1 16432 KachelY 12049 0.00920388 0.74930992 0.527343 42.932296
    Unten links KachelX 16431 KachelY + 1 12050 0.00901214 0.74916952 0.516358 42.924252
    Unten rechts KachelX + 1 16432 KachelY + 1 12050 0.00920388 0.74916952 0.527343 42.924252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74930992-0.74916952) × R
    0.000140399999999929 × 6371000     		dl = 894.488399999551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74930992-0.74916952) × R
    0.000140399999999929 × 6371000     		dr = 894.488399999551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00901214-0.00920388) × cos(0.74930992) × R
    0.000191739999999999 × 0.732159079893084 × 6371000     		do = 894.387623386294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00901214-0.00920388) × cos(0.74916952) × R
    0.000191739999999999 × 0.732254703844368 × 6371000     		du = 894.504435266221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74930992)-sin(0.74916952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732159079893084-0.732254703844368)×R²
    abs(0.00920388-0.00901214)×9.56239512839296e-05×R²
    0.000191739999999999×9.56239512839296e-05×6371000²
    0.000191739999999999×9.56239512839296e-05×40589641000000     		ar = 800071.598972467m²