Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16426 / 12066
↖ ↑ ↗
← N 42.795401°
E  0.461426°		 ← 896.42 m → N 42.795401°
E  0.472412°		 →
↑
896.46 m
↓
↑
896.46 m
↓
N 42.787339°
E  0.461426°		 ← 896.54 m →
803 660 m²		 N 42.787339°
E  0.472412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501296997070312 y=0.368240356445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501296997070312 × 215)
    floor (0.501296997070312 × 32768)
    floor (16426.5)     		tx = 16426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368240356445312 × 215)
    floor (0.368240356445312 × 32768)
    floor (12066.5)     		ty = 12066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16426 / 12066 ti = "15/16426/12066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16426/12066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16426 ÷ 215
    16426 ÷ 32768     		x = 0.50128173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12066 ÷ 215
    12066 ÷ 32768     		y = 0.36822509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50128173828125 × 2 - 1) × π
    0.0025634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00805340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36822509765625 × 2 - 1) × π
    0.2635498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.82796613023761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00805340} λ = 0.00805340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.82796613023761))-π/2
    2×atan(2.28865916870992)-π/2
    2×1.15885848644158-π/2
    2.31771697288316-1.57079632675     		φ = 0.74692065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00805340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.461426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74692065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.795401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16426 KachelY 12066 0.00805340 0.74692065 0.461426 42.795401
    Oben rechts KachelX + 1 16427 KachelY 12066 0.00824515 0.74692065 0.472412 42.795401
    Unten links KachelX 16426 KachelY + 1 12067 0.00805340 0.74677994 0.461426 42.787339
    Unten rechts KachelX + 1 16427 KachelY + 1 12067 0.00824515 0.74677994 0.472412 42.787339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74692065-0.74677994) × R
    0.000140709999999933 × 6371000     		dl = 896.463409999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74692065-0.74677994) × R
    0.000140709999999933 × 6371000     		dr = 896.463409999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00805340-0.00824515) × cos(0.74692065) × R
    0.000191749999999999 × 0.73378440079302 × 6371000     		do = 896.419825046481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00805340-0.00824515) × cos(0.74677994) × R
    0.000191749999999999 × 0.733879989426798 × 6371000     		du = 896.536599873358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74692065)-sin(0.74677994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73378440079302-0.733879989426798)×R²
    abs(0.00824515-0.00805340)×9.55886337781209e-05×R²
    0.000191749999999999×9.55886337781209e-05×6371000²
    0.000191749999999999×9.55886337781209e-05×40589641000000     		ar = 803659.916658487m²