Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16426 / 12062
↖ ↑ ↗
← N 42.827639°
E  0.461426°		 ← 895.95 m → N 42.827639°
E  0.472412°		 →
↑
896.02 m
↓
↑
896.02 m
↓
N 42.819581°
E  0.461426°		 ← 896.07 m →
802 842 m²		 N 42.819581°
E  0.472412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501296997070312 y=0.368118286132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501296997070312 × 215)
    floor (0.501296997070312 × 32768)
    floor (16426.5)     		tx = 16426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368118286132812 × 215)
    floor (0.368118286132812 × 32768)
    floor (12062.5)     		ty = 12062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16426 / 12062 ti = "15/16426/12062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16426/12062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16426 ÷ 215
    16426 ÷ 32768     		x = 0.50128173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12062 ÷ 215
    12062 ÷ 32768     		y = 0.36810302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50128173828125 × 2 - 1) × π
    0.0025634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00805340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36810302734375 × 2 - 1) × π
    0.2637939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.828733120631531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00805340} λ = 0.00805340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.828733120631531))-π/2
    2×atan(2.29041522165907)-π/2
    2×1.15913981591714-π/2
    2.31827963183429-1.57079632675     		φ = 0.74748331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00805340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.461426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74748331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.827639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16426 KachelY 12062 0.00805340 0.74748331 0.461426 42.827639
    Oben rechts KachelX + 1 16427 KachelY 12062 0.00824515 0.74748331 0.472412 42.827639
    Unten links KachelX 16426 KachelY + 1 12063 0.00805340 0.74734267 0.461426 42.819581
    Unten rechts KachelX + 1 16427 KachelY + 1 12063 0.00824515 0.74734267 0.472412 42.819581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74748331-0.74734267) × R
    0.000140640000000025 × 6371000     		dl = 896.01744000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74748331-0.74734267) × R
    0.000140640000000025 × 6371000     		dr = 896.01744000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00805340-0.00824515) × cos(0.74748331) × R
    0.000191749999999999 × 0.733402023355776 × 6371000     		do = 895.952697760828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00805340-0.00824515) × cos(0.74734267) × R
    0.000191749999999999 × 0.733497622494861 × 6371000     		du = 896.069485421402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74748331)-sin(0.74734267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733402023355776-0.733497622494861)×R²
    abs(0.00824515-0.00805340)×9.55991390856337e-05×R²
    0.000191749999999999×9.55991390856337e-05×6371000²
    0.000191749999999999×9.55991390856337e-05×40589641000000     		ar = 802841.565822003m²