Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16424 / 10968
↖ ↑ ↗
← N 51.013755°
E  0.439453°		 ← 768.57 m → N 51.013755°
E  0.450439°		 →
↑
768.60 m
↓
↑
768.60 m
↓
N 51.006842°
E  0.439453°		 ← 768.69 m →
590 768 m²		 N 51.006842°
E  0.450439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501235961914062 y=0.334732055664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501235961914062 × 215)
    floor (0.501235961914062 × 32768)
    floor (16424.5)     		tx = 16424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334732055664062 × 215)
    floor (0.334732055664062 × 32768)
    floor (10968.5)     		ty = 10968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16424 / 10968 ti = "15/16424/10968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16424/10968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16424 ÷ 215
    16424 ÷ 32768     		x = 0.501220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10968 ÷ 215
    10968 ÷ 32768     		y = 0.334716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501220703125 × 2 - 1) × π
    0.00244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00766990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334716796875 × 2 - 1) × π
    0.33056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0385049933689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00766990} λ = 0.00766990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0385049933689))-π/2
    2×atan(2.82499047629269)-π/2
    2×1.23057715467437-π/2
    2.46115430934875-1.57079632675     		φ = 0.89035798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00766990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89035798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.013755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16424 KachelY 10968 0.00766990 0.89035798 0.439453 51.013755
    Oben rechts KachelX + 1 16425 KachelY 10968 0.00786165 0.89035798 0.450439 51.013755
    Unten links KachelX 16424 KachelY + 1 10969 0.00766990 0.89023734 0.439453 51.006842
    Unten rechts KachelX + 1 16425 KachelY + 1 10969 0.00786165 0.89023734 0.450439 51.006842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89035798-0.89023734) × R
    0.000120640000000005 × 6371000     		dl = 768.597440000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89035798-0.89023734) × R
    0.000120640000000005 × 6371000     		dr = 768.597440000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00766990-0.00786165) × cos(0.89035798) × R
    0.000191749999999999 × 0.629133810105984 × 6371000     		do = 768.574555927514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00766990-0.00786165) × cos(0.89023734) × R
    0.000191749999999999 × 0.629227578639394 × 6371000     		du = 768.689107248342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89035798)-sin(0.89023734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629133810105984-0.629227578639394)×R²
    abs(0.00786165-0.00766990)×9.37685334100324e-05×R²
    0.000191749999999999×9.37685334100324e-05×6371000²
    0.000191749999999999×9.37685334100324e-05×40589641000000     		ar = 590768.458777964m²