Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16420 / 12073
↖ ↑ ↗
← N 42.738944°
E  0.395508°		 ← 897.24 m → N 42.738944°
E  0.406494°		 →
↑
897.29 m
↓
↑
897.29 m
↓
N 42.730874°
E  0.395508°		 ← 897.35 m →
805 136 m²		 N 42.730874°
E  0.406494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501113891601562 y=0.368453979492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501113891601562 × 215)
    floor (0.501113891601562 × 32768)
    floor (16420.5)     		tx = 16420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368453979492188 × 215)
    floor (0.368453979492188 × 32768)
    floor (12073.5)     		ty = 12073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16420 / 12073 ti = "15/16420/12073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16420/12073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16420 ÷ 215
    16420 ÷ 32768     		x = 0.5010986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12073 ÷ 215
    12073 ÷ 32768     		y = 0.368438720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5010986328125 × 2 - 1) × π
    0.002197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00690291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368438720703125 × 2 - 1) × π
    0.26312255859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.826623897048248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00690291} λ = 0.00690291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.826623897048248))-π/2
    2×atan(2.28558931510513)-π/2
    2×1.1583658070307-π/2
    2.3167316140614-1.57079632675     		φ = 0.74593529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00690291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74593529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.738944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16420 KachelY 12073 0.00690291 0.74593529 0.395508 42.738944
    Oben rechts KachelX + 1 16421 KachelY 12073 0.00709466 0.74593529 0.406494 42.738944
    Unten links KachelX 16420 KachelY + 1 12074 0.00690291 0.74579445 0.395508 42.730874
    Unten rechts KachelX + 1 16421 KachelY + 1 12074 0.00709466 0.74579445 0.406494 42.730874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74593529-0.74579445) × R
    0.000140840000000031 × 6371000     		dl = 897.291640000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74593529-0.74579445) × R
    0.000140840000000031 × 6371000     		dr = 897.291640000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00690291-0.00709466) × cos(0.74593529) × R
    0.00019175 × 0.734453480703751 × 6371000     		do = 897.23719932682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00690291-0.00709466) × cos(0.74579445) × R
    0.00019175 × 0.734549055757535 × 6371000     		du = 897.353957563844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74593529)-sin(0.74579445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734453480703751-0.734549055757535)×R²
    abs(0.00709466-0.00690291)×9.55750537838806e-05×R²
    0.00019175×9.55750537838806e-05×6371000²
    0.00019175×9.55750537838806e-05×40589641000000     		ar = 805135.82247905m²