Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16420 / 11492
↖ ↑ ↗
← N 47.249407°
E  0.395508°		 ← 829.26 m → N 47.249407°
E  0.406494°		 →
↑
829.31 m
↓
↑
829.31 m
↓
N 47.241949°
E  0.395508°		 ← 829.38 m →
687 764 m²		 N 47.241949°
E  0.406494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501113891601562 y=0.350723266601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501113891601562 × 215)
    floor (0.501113891601562 × 32768)
    floor (16420.5)     		tx = 16420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350723266601562 × 215)
    floor (0.350723266601562 × 32768)
    floor (11492.5)     		ty = 11492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16420 / 11492 ti = "15/16420/11492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16420/11492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16420 ÷ 215
    16420 ÷ 32768     		x = 0.5010986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11492 ÷ 215
    11492 ÷ 32768     		y = 0.3507080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5010986328125 × 2 - 1) × π
    0.002197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00690291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3507080078125 × 2 - 1) × π
    0.298583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.938029251765259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00690291} λ = 0.00690291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.938029251765259))-π/2
    2×atan(2.55494130749415)-π/2
    2×1.19772702390328-π/2
    2.39545404780657-1.57079632675     		φ = 0.82465772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00690291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82465772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.249407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16420 KachelY 11492 0.00690291 0.82465772 0.395508 47.249407
    Oben rechts KachelX + 1 16421 KachelY 11492 0.00709466 0.82465772 0.406494 47.249407
    Unten links KachelX 16420 KachelY + 1 11493 0.00690291 0.82452755 0.395508 47.241949
    Unten rechts KachelX + 1 16421 KachelY + 1 11493 0.00709466 0.82452755 0.406494 47.241949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82465772-0.82452755) × R
    0.000130170000000041 × 6371000     		dl = 829.313070000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82465772-0.82452755) × R
    0.000130170000000041 × 6371000     		dr = 829.313070000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00690291-0.00709466) × cos(0.82465772) × R
    0.00019175 × 0.678808346885465 × 6371000     		do = 829.258919782899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00690291-0.00709466) × cos(0.82452755) × R
    0.00019175 × 0.678903926980642 × 6371000     		du = 829.375684178686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82465772)-sin(0.82452755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678808346885465-0.678903926980642)×R²
    abs(0.00709466-0.00690291)×9.55800951770724e-05×R²
    0.00019175×9.55800951770724e-05×6371000²
    0.00019175×9.55800951770724e-05×40589641000000     		ar = 687763.678680895m²