Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16416 / 11680
↖ ↑ ↗
← N 45.828799°
E  0.351562°		 ← 851.24 m → N 45.828799°
E  0.362549°		 →
↑
851.29 m
↓
↑
851.29 m
↓
N 45.821143°
E  0.351562°		 ← 851.36 m →
724 708 m²		 N 45.821143°
E  0.362549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500991821289062 y=0.356460571289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500991821289062 × 215)
    floor (0.500991821289062 × 32768)
    floor (16416.5)     		tx = 16416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.356460571289062 × 215)
    floor (0.356460571289062 × 32768)
    floor (11680.5)     		ty = 11680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16416 / 11680 ti = "15/16416/11680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16416/11680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16416 ÷ 215
    16416 ÷ 32768     		x = 0.5009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11680 ÷ 215
    11680 ÷ 32768     		y = 0.3564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5009765625 × 2 - 1) × π
    0.001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00613592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3564453125 × 2 - 1) × π
    0.287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.901980703250977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00613592} λ = 0.00613592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.901980703250977))-π/2
    2×atan(2.46447968296184)-π/2
    2×1.18532988297924-π/2
    2.37065976595847-1.57079632675     		φ = 0.79986344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00613592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.351562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79986344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.828799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16416 KachelY 11680 0.00613592 0.79986344 0.351562 45.828799
    Oben rechts KachelX + 1 16417 KachelY 11680 0.00632767 0.79986344 0.362549 45.828799
    Unten links KachelX 16416 KachelY + 1 11681 0.00613592 0.79972982 0.351562 45.821143
    Unten rechts KachelX + 1 16417 KachelY + 1 11681 0.00632767 0.79972982 0.362549 45.821143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79986344-0.79972982) × R
    0.000133619999999945 × 6371000     		dl = 851.293019999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79986344-0.79972982) × R
    0.000133619999999945 × 6371000     		dr = 851.293019999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00613592-0.00632767) × cos(0.79986344) × R
    0.00019175 × 0.69680466499832 × 6371000     		do = 851.243928345049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00613592-0.00632767) × cos(0.79972982) × R
    0.00019175 × 0.696900499184616 × 6371000     		du = 851.36100314852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79986344)-sin(0.79972982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69680466499832-0.696900499184616)×R²
    abs(0.00632767-0.00613592)×9.58341862958845e-05×R²
    0.00019175×9.58341862958845e-05×6371000²
    0.00019175×9.58341862958845e-05×40589641000000     		ar = 724707.848077015m²