Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16411 / 12137
↖ ↑ ↗
← N 42.220382°
E  0.296631°		 ← 904.66 m → N 42.220382°
E  0.307617°		 →
↑
904.75 m
↓
↑
904.75 m
↓
N 42.212245°
E  0.296631°		 ← 904.77 m →
818 537 m²		 N 42.212245°
E  0.307617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500839233398438 y=0.370407104492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500839233398438 × 215)
    floor (0.500839233398438 × 32768)
    floor (16411.5)     		tx = 16411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.370407104492188 × 215)
    floor (0.370407104492188 × 32768)
    floor (12137.5)     		ty = 12137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16411 / 12137 ti = "15/16411/12137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16411/12137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16411 ÷ 215
    16411 ÷ 32768     		x = 0.500823974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12137 ÷ 215
    12137 ÷ 32768     		y = 0.370391845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500823974609375 × 2 - 1) × π
    0.00164794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00517719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.370391845703125 × 2 - 1) × π
    0.25921630859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.814352050745514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00517719} λ = 0.00517719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.814352050745514))-π/2
    2×atan(2.2577123152988)-π/2
    2×1.15384050017631-π/2
    2.30768100035262-1.57079632675     		φ = 0.73688467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00517719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.296631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73688467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.220382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16411 KachelY 12137 0.00517719 0.73688467 0.296631 42.220382
    Oben rechts KachelX + 1 16412 KachelY 12137 0.00536893 0.73688467 0.307617 42.220382
    Unten links KachelX 16411 KachelY + 1 12138 0.00517719 0.73674266 0.296631 42.212245
    Unten rechts KachelX + 1 16412 KachelY + 1 12138 0.00536893 0.73674266 0.307617 42.212245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73688467-0.73674266) × R
    0.000142010000000026 × 6371000     		dl = 904.745710000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73688467-0.73674266) × R
    0.000142010000000026 × 6371000     		dr = 904.745710000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00517719-0.00536893) × cos(0.73688467) × R
    0.00019174 × 0.740565601171915 × 6371000     		do = 904.656824157007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00517719-0.00536893) × cos(0.73674266) × R
    0.00019174 × 0.740661022161943 × 6371000     		du = 904.773388104429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73688467)-sin(0.73674266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740565601171915-0.740661022161943)×R²
    abs(0.00536893-0.00517719)×9.54209900287939e-05×R²
    0.00019174×9.54209900287939e-05×6371000²
    0.00019174×9.54209900287939e-05×40589641000000     		ar = 818537.112419396m²