Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16410 / 12138
↖ ↑ ↗
← N 42.212245°
E  0.285645°		 ← 904.82 m → N 42.212245°
E  0.296631°		 →
↑
904.87 m
↓
↑
904.87 m
↓
N 42.204107°
E  0.285645°		 ← 904.94 m →
818 801 m²		 N 42.204107°
E  0.296631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500808715820312 y=0.370437622070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500808715820312 × 215)
    floor (0.500808715820312 × 32768)
    floor (16410.5)     		tx = 16410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.370437622070312 × 215)
    floor (0.370437622070312 × 32768)
    floor (12138.5)     		ty = 12138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16410 / 12138 ti = "15/16410/12138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16410/12138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16410 ÷ 215
    16410 ÷ 32768     		x = 0.50079345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12138 ÷ 215
    12138 ÷ 32768     		y = 0.37042236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50079345703125 × 2 - 1) × π
    0.0015869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00498544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37042236328125 × 2 - 1) × π
    0.2591552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.814160303147034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00498544} λ = 0.00498544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.814160303147034))-π/2
    2×atan(2.25727944588645)-π/2
    2×1.15376949476453-π/2
    2.30753898952907-1.57079632675     		φ = 0.73674266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00498544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.285645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73674266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.212245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16410 KachelY 12138 0.00498544 0.73674266 0.285645 42.212245
    Oben rechts KachelX + 1 16411 KachelY 12138 0.00517719 0.73674266 0.296631 42.212245
    Unten links KachelX 16410 KachelY + 1 12139 0.00498544 0.73660063 0.285645 42.204107
    Unten rechts KachelX + 1 16411 KachelY + 1 12139 0.00517719 0.73660063 0.296631 42.204107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73674266-0.73660063) × R
    0.000142030000000015 × 6371000     		dl = 904.873130000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73674266-0.73660063) × R
    0.000142030000000015 × 6371000     		dr = 904.873130000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00498544-0.00517719) × cos(0.73674266) × R
    0.00019175 × 0.740661022161943 × 6371000     		do = 904.82057561815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00498544-0.00517719) × cos(0.73660063) × R
    0.00019175 × 0.740756441650654 × 6371000     		du = 904.937143810774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73674266)-sin(0.73660063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740661022161943-0.740756441650654)×R²
    abs(0.00517719-0.00498544)×9.5419488710391e-05×R²
    0.00019175×9.5419488710391e-05×6371000²
    0.00019175×9.5419488710391e-05×40589641000000     		ar = 818800.567437096m²