Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16408 / 12119
↖ ↑ ↗
← N 42.366662°
E  0.263672°		 ← 902.61 m → N 42.366662°
E  0.274658°		 →
↑
902.64 m
↓
↑
902.64 m
↓
N 42.358544°
E  0.263672°		 ← 902.72 m →
814 783 m²		 N 42.358544°
E  0.274658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500747680664062 y=0.369857788085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500747680664062 × 215)
    floor (0.500747680664062 × 32768)
    floor (16408.5)     		tx = 16408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369857788085938 × 215)
    floor (0.369857788085938 × 32768)
    floor (12119.5)     		ty = 12119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16408 / 12119 ti = "15/16408/12119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16408/12119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16408 ÷ 215
    16408 ÷ 32768     		x = 0.500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12119 ÷ 215
    12119 ÷ 32768     		y = 0.369842529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500732421875 × 2 - 1) × π
    0.00146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00460194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369842529296875 × 2 - 1) × π
    0.26031494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.817803507518158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00460194} λ = 0.00460194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.817803507518158))-π/2
    2×atan(2.26551817480448)-π/2
    2×1.15511703294411-π/2
    2.31023406588822-1.57079632675     		φ = 0.73943774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00460194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73943774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.366662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16408 KachelY 12119 0.00460194 0.73943774 0.263672 42.366662
    Oben rechts KachelX + 1 16409 KachelY 12119 0.00479369 0.73943774 0.274658 42.366662
    Unten links KachelX 16408 KachelY + 1 12120 0.00460194 0.73929606 0.263672 42.358544
    Unten rechts KachelX + 1 16409 KachelY + 1 12120 0.00479369 0.73929606 0.274658 42.358544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73943774-0.73929606) × R
    0.000141679999999922 × 6371000     		dl = 902.643279999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73943774-0.73929606) × R
    0.000141679999999922 × 6371000     		dr = 902.643279999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00460194-0.00479369) × cos(0.73943774) × R
    0.00019175 × 0.738847567102445 × 6371000     		do = 902.605187739357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00460194-0.00479369) × cos(0.73929606) × R
    0.00019175 × 0.738943033955681 × 6371000     		du = 902.721813794343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73943774)-sin(0.73929606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738847567102445-0.738943033955681)×R²
    abs(0.00479369-0.00460194)×9.54668532351377e-05×R²
    0.00019175×9.54668532351377e-05×6371000²
    0.00019175×9.54668532351377e-05×40589641000000     		ar = 814783.144431656m²