Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16407 / 12067
↖ ↑ ↗
← N 42.787339°
E  0.252685°		 ← 896.54 m → N 42.787339°
E  0.263672°		 →
↑
896.59 m
↓
↑
896.59 m
↓
N 42.779276°
E  0.252685°		 ← 896.65 m →
803 879 m²		 N 42.779276°
E  0.263672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500717163085938 y=0.368270874023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500717163085938 × 215)
    floor (0.500717163085938 × 32768)
    floor (16407.5)     		tx = 16407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368270874023438 × 215)
    floor (0.368270874023438 × 32768)
    floor (12067.5)     		ty = 12067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16407 / 12067 ti = "15/16407/12067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16407/12067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16407 ÷ 215
    16407 ÷ 32768     		x = 0.500701904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12067 ÷ 215
    12067 ÷ 32768     		y = 0.368255615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500701904296875 × 2 - 1) × π
    0.00140380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00441019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368255615234375 × 2 - 1) × π
    0.26348876953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.82777438263913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00441019} λ = 0.00441019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.82777438263913))-π/2
    2×atan(2.28822036588162)-π/2
    2×1.15878813116074-π/2
    2.31757626232148-1.57079632675     		φ = 0.74677994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00441019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.252685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74677994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.787339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16407 KachelY 12067 0.00441019 0.74677994 0.252685 42.787339
    Oben rechts KachelX + 1 16408 KachelY 12067 0.00460194 0.74677994 0.263672 42.787339
    Unten links KachelX 16407 KachelY + 1 12068 0.00441019 0.74663921 0.252685 42.779276
    Unten rechts KachelX + 1 16408 KachelY + 1 12068 0.00460194 0.74663921 0.263672 42.779276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74677994-0.74663921) × R
    0.000140730000000033 × 6371000     		dl = 896.590830000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74677994-0.74663921) × R
    0.000140730000000033 × 6371000     		dr = 896.590830000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00441019-0.00460194) × cos(0.74677994) × R
    0.00019175 × 0.733879989426798 × 6371000     		do = 896.536599873362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00441019-0.00460194) × cos(0.74663921) × R
    0.00019175 × 0.733975577113781 × 6371000     		du = 896.653373543597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74677994)-sin(0.74663921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733879989426798-0.733975577113781)×R²
    abs(0.00460194-0.00441019)×9.5587686982368e-05×R²
    0.00019175×9.5587686982368e-05×6371000²
    0.00019175×9.5587686982368e-05×40589641000000     		ar = 803878.844633999m²