Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16405 / 12132
↖ ↑ ↗
← N 42.261049°
E  0.230713°		 ← 904.12 m → N 42.261049°
E  0.241699°		 →
↑
904.17 m
↓
↑
904.17 m
↓
N 42.252918°
E  0.230713°		 ← 904.24 m →
817 534 m²		 N 42.252918°
E  0.241699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500656127929688 y=0.370254516601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500656127929688 × 215)
    floor (0.500656127929688 × 32768)
    floor (16405.5)     		tx = 16405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.370254516601562 × 215)
    floor (0.370254516601562 × 32768)
    floor (12132.5)     		ty = 12132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16405 / 12132 ti = "15/16405/12132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16405/12132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16405 ÷ 215
    16405 ÷ 32768     		x = 0.500640869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12132 ÷ 215
    12132 ÷ 32768     		y = 0.3702392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500640869140625 × 2 - 1) × π
    0.00128173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00402670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3702392578125 × 2 - 1) × π
    0.259521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.815310788737915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00402670} λ = 0.00402670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.815310788737915))-π/2
    2×atan(2.25987790782343)-π/2
    2×1.15419539000186-π/2
    2.30839078000373-1.57079632675     		φ = 0.73759445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00402670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.230713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73759445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.261049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16405 KachelY 12132 0.00402670 0.73759445 0.230713 42.261049
    Oben rechts KachelX + 1 16406 KachelY 12132 0.00421845 0.73759445 0.241699 42.261049
    Unten links KachelX 16405 KachelY + 1 12133 0.00402670 0.73745253 0.230713 42.252918
    Unten rechts KachelX + 1 16406 KachelY + 1 12133 0.00421845 0.73745253 0.241699 42.252918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73759445-0.73745253) × R
    0.000141920000000018 × 6371000     		dl = 904.172320000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73759445-0.73745253) × R
    0.000141920000000018 × 6371000     		dr = 904.172320000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00402670-0.00421845) × cos(0.73759445) × R
    0.00019175 × 0.74008845381485 × 6371000     		do = 904.121103652033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00402670-0.00421845) × cos(0.73745253) × R
    0.00019175 × 0.740183888915189 × 6371000     		du = 904.237690916435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73759445)-sin(0.73745253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74008845381485-0.740183888915189)×R²
    abs(0.00421845-0.00402670)×9.54351003388254e-05×R²
    0.00019175×9.54351003388254e-05×6371000²
    0.00019175×9.54351003388254e-05×40589641000000     		ar = 817533.984710712m²