Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16404 / 12131
↖ ↑ ↗
← N 42.269179°
E  0.219726°		 ← 904 m → N 42.269179°
E  0.230713°		 →
↑
904.04 m
↓
↑
904.04 m
↓
N 42.261049°
E  0.219726°		 ← 904.12 m →
817 313 m²		 N 42.261049°
E  0.230713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500625610351562 y=0.370223999023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500625610351562 × 215)
    floor (0.500625610351562 × 32768)
    floor (16404.5)     		tx = 16404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.370223999023438 × 215)
    floor (0.370223999023438 × 32768)
    floor (12131.5)     		ty = 12131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16404 / 12131 ti = "15/16404/12131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16404/12131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16404 ÷ 215
    16404 ÷ 32768     		x = 0.5006103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12131 ÷ 215
    12131 ÷ 32768     		y = 0.370208740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5006103515625 × 2 - 1) × π
    0.001220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00383495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.370208740234375 × 2 - 1) × π
    0.25958251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.815502536336395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00383495} λ = 0.00383495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.815502536336395))-π/2
    2×atan(2.26031127553239)-π/2
    2×1.15426634051855-π/2
    2.30853268103711-1.57079632675     		φ = 0.73773635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00383495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.219726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73773635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.269179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16404 KachelY 12131 0.00383495 0.73773635 0.219726 42.269179
    Oben rechts KachelX + 1 16405 KachelY 12131 0.00402670 0.73773635 0.230713 42.269179
    Unten links KachelX 16404 KachelY + 1 12132 0.00383495 0.73759445 0.219726 42.261049
    Unten rechts KachelX + 1 16405 KachelY + 1 12132 0.00402670 0.73759445 0.230713 42.261049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73773635-0.73759445) × R
    0.000141900000000028 × 6371000     		dl = 904.044900000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73773635-0.73759445) × R
    0.000141900000000028 × 6371000     		dr = 904.044900000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00383495-0.00402670) × cos(0.73773635) × R
    0.00019175 × 0.739993017260469 × 6371000     		do = 904.004514611317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00383495-0.00402670) × cos(0.73759445) × R
    0.00019175 × 0.74008845381485 × 6371000     		du = 904.121103652033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73773635)-sin(0.73759445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739993017260469-0.74008845381485)×R²
    abs(0.00402670-0.00383495)×9.54365543811564e-05×R²
    0.00019175×9.54365543811564e-05×6371000²
    0.00019175×9.54365543811564e-05×40589641000000     		ar = 817313.373246607m²