Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16397 / 12134
↖ ↑ ↗
← N 42.244786°
E  0.142822°		 ← 904.35 m → N 42.244786°
E  0.153809°		 →
↑
904.43 m
↓
↑
904.43 m
↓
N 42.236652°
E  0.142822°		 ← 904.47 m →
817 975 m²		 N 42.236652°
E  0.153809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500411987304688 y=0.370315551757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500411987304688 × 215)
    floor (0.500411987304688 × 32768)
    floor (16397.5)     		tx = 16397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.370315551757812 × 215)
    floor (0.370315551757812 × 32768)
    floor (12134.5)     		ty = 12134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16397 / 12134 ti = "15/16397/12134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16397/12134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16397 ÷ 215
    16397 ÷ 32768     		x = 0.500396728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12134 ÷ 215
    12134 ÷ 32768     		y = 0.37030029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500396728515625 × 2 - 1) × π
    0.00079345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00249272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37030029296875 × 2 - 1) × π
    0.2593994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.814927293540955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00249272} λ = 0.00249272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.814927293540955))-π/2
    2×atan(2.25901142165732)-π/2
    2×1.15405346151931-π/2
    2.30810692303863-1.57079632675     		φ = 0.73731060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00249272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.142822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73731060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.244786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16397 KachelY 12134 0.00249272 0.73731060 0.142822 42.244786
    Oben rechts KachelX + 1 16398 KachelY 12134 0.00268447 0.73731060 0.153809 42.244786
    Unten links KachelX 16397 KachelY + 1 12135 0.00249272 0.73716864 0.142822 42.236652
    Unten rechts KachelX + 1 16398 KachelY + 1 12135 0.00268447 0.73716864 0.153809 42.236652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73731060-0.73716864) × R
    0.000141959999999997 × 6371000     		dl = 904.427159999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73731060-0.73716864) × R
    0.000141959999999997 × 6371000     		dr = 904.427159999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00249272-0.00268447) × cos(0.73731060) × R
    0.00019175 × 0.740279315830266 × 6371000     		do = 904.3542681814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00249272-0.00268447) × cos(0.73716864) × R
    0.00019175 × 0.740374747998895 × 6371000     		du = 904.47085186431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73731060)-sin(0.73716864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740279315830266-0.740374747998895)×R²
    abs(0.00268447-0.00249272)×9.54321686291726e-05×R²
    0.00019175×9.54321686291726e-05×6371000²
    0.00019175×9.54321686291726e-05×40589641000000     		ar = 817975.284503507m²