Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16395 / 12136
↖ ↑ ↗
← N 42.228518°
E  0.120849°		 ← 904.59 m → N 42.228518°
E  0.131836°		 →
↑
904.68 m
↓
↑
904.68 m
↓
N 42.220382°
E  0.120849°		 ← 904.70 m →
818 417 m²		 N 42.220382°
E  0.131836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500350952148438 y=0.370376586914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500350952148438 × 215)
    floor (0.500350952148438 × 32768)
    floor (16395.5)     		tx = 16395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.370376586914062 × 215)
    floor (0.370376586914062 × 32768)
    floor (12136.5)     		ty = 12136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16395 / 12136 ti = "15/16395/12136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16395/12136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16395 ÷ 215
    16395 ÷ 32768     		x = 0.500335693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12136 ÷ 215
    12136 ÷ 32768     		y = 0.370361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500335693359375 × 2 - 1) × π
    0.00067138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00210922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.370361328125 × 2 - 1) × π
    0.25927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.814543798343994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00210922} λ = 0.00210922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.814543798343994))-π/2
    2×atan(2.25814526772079)-π/2
    2×1.15391149643953-π/2
    2.30782299287907-1.57079632675     		φ = 0.73702667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00210922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.120849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73702667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.228518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16395 KachelY 12136 0.00210922 0.73702667 0.120849 42.228518
    Oben rechts KachelX + 1 16396 KachelY 12136 0.00230097 0.73702667 0.131836 42.228518
    Unten links KachelX 16395 KachelY + 1 12137 0.00210922 0.73688467 0.120849 42.220382
    Unten rechts KachelX + 1 16396 KachelY + 1 12137 0.00230097 0.73688467 0.131836 42.220382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73702667-0.73688467) × R
    0.000141999999999975 × 6371000     		dl = 904.681999999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73702667-0.73688467) × R
    0.000141999999999975 × 6371000     		dr = 904.681999999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00210922-0.00230097) × cos(0.73702667) × R
    0.00019175 × 0.74047017196791 × 6371000     		do = 904.587425530247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00210922-0.00230097) × cos(0.73688467) × R
    0.00019175 × 0.740565601171915 × 6371000     		du = 904.704005591455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73702667)-sin(0.73688467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74047017196791-0.740565601171915)×R²
    abs(0.00230097-0.00210922)×9.54292040046267e-05×R²
    0.00019175×9.54292040046267e-05×6371000²
    0.00019175×9.54292040046267e-05×40589641000000     		ar = 818416.696620699m²